Fonction à trouver

Bonjour,

Je participe avec l'identité.

Bonjour,

On peut aussi essayer avec : \(f(x+h)-f(x)=-h\) si l'on veut récupérer les symétries en plus des translations.

Autrement dit une isométrie : $|f(x)-f(y)|=|x-y|$. Ceci commence à devenir un peu drôle avec $\mathbb C$

Déterminer les $f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ telles que : $\forall x \in \mathbb R, \forall y \in \mathbb R, |f(x)-f(y)|=|x-y|$.
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Je pars de $|f(x)-f(y)|=|x-y|~~~~~$ (0).
Méthode que j'appelle Retour à Zéro, en hommage à Hubert Monteilhet.
Je pose : $g(x)=f(x)-f(0)~~~~~$ (1), qui vérifie : $|g(x)-g(y)|=|x-y|~~~~~$ (2) $~~~~~$ et $~~~~~$ $g(0)=0~~~~~$ (3).
De (2) et (3) il résulte : $|g(x)|=|x|~~~~~$ (4).
L'égalité (2) implique $(g(x)-g(y))^2=(x-y)^2$, d'où d'après (4) : $g(x)g(y)=xy~~~~~$ (5).
L'égalité (4) implique : $g(1)=\pm 1~~~~~$ (6) et en faisant $y:=1$ dans (5), il vient : $g(x)=x$ ou $g(x)=-x$.
Conclusion d'après (1) : $f(x)=x+c$ ou $f(x)=-x+c$, avec $c$ constante réelle.
Bien sûr ces fonctions conviennent.
Les quantificateurs sont sous-entendus, mais bien présents et dûment utilisés.
On peut maintenant appliquer ces idées à la détermination des $f : \mathbb C \rightarrow \mathbb C$ telles que : $\forall x \in \mathbb C, \forall y \in \mathbb C, |f(x)-f(y)|=|x-y|$.
Bonne nuit.
Fr. Ch.