Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
177 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Fonction à trouver

Envoyé par etanche 
Fonction à trouver
il y a huit jours
Bonjour

Déterminer toutes les fonctions f : R --> R qui envoient tout segment de R sur un segment de même longueur.

Merci.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit jours et a été effectuée par AD.
Re: Fonction à trouver
il y a huit jours
avatar
Bonjour,

Je participe avec l'identité.

--------------------------------------------------------------------------
[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]
Re: Fonction à trouver
il y a huit jours
avatar
Pour tout x et tout h on va avoir f(x+h)-f(x)=h donc...

--
Objectivement, je suis subjectif.
Subjectivement, je suis objectif.
Donc objectivement, je suis objectif.
gb
Re: Fonction à trouver
il y a huit jours
avatar
Bonjour,

On peut aussi essayer avec : \(f(x+h)-f(x)=-h\) si l'on veut récupérer les symétries en plus des translations.
Re: Fonction à trouver
il y a huit jours
avatar
Ah exact oubli de ma part.

--
Objectivement, je suis subjectif.
Subjectivement, je suis objectif.
Donc objectivement, je suis objectif.
Re: Fonction à trouver
il y a huit jours
Autrement dit une isométrie : $|f(x)-f(y)|=|x-y|$. Ceci commence à devenir un peu drôle avec $\mathbb C$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit jours et a été effectuée par Chaurien.
Re: Fonction à trouver
il y a huit jours
avatar
Quitte à passer dans $\mathbb C$ on peut aussi faire un peu plus drôle et demander à ce que $f$ envoie tout convexe borné sur un convexe borné de même volume...

--
Objectivement, je suis subjectif.
Subjectivement, je suis objectif.
Donc objectivement, je suis objectif.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit jours et a été effectuée par AD.
Re: Fonction à trouver
il y a huit jours
Déterminer les $f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ telles que : $\forall x \in \mathbb R, \forall y \in \mathbb R, |f(x)-f(y)|=|x-y|$.
....................................................................................................................................................................
Je pars de $|f(x)-f(y)|=|x-y|~~~~~$ (0).
Méthode que j'appelle Retour à Zéro, en hommage à Hubert Monteilhet.
Je pose : $g(x)=f(x)-f(0)~~~~~$ (1), qui vérifie : $|g(x)-g(y)|=|x-y|~~~~~$ (2) $~~~~~$ et $~~~~~$ $g(0)=0~~~~~$ (3).
De (2) et (3) il résulte : $|g(x)|=|x|~~~~~$ (4).
L'égalité (2) implique $(g(x)-g(y))^2=(x-y)^2$, d'où d'après (4) : $g(x)g(y)=xy~~~~~$ (5).
L'égalité (4) implique : $g(1)=\pm 1~~~~~$ (6) et en faisant $y:=1$ dans (5), il vient : $g(x)=x$ ou $g(x)=-x$.
Conclusion d'après (1) : $f(x)=x+c$ ou $f(x)=-x+c$, avec $c$ constante réelle.
Bien sûr ces fonctions conviennent.
Les quantificateurs sont sous-entendus, mais bien présents et dûment utilisés.
On peut maintenant appliquer ces idées à la détermination des $f : \mathbb C \rightarrow \mathbb C$ telles que : $\forall x \in \mathbb C, \forall y \in \mathbb C, |f(x)-f(y)|=|x-y|$.
Bonne nuit.
Fr. Ch.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept jours et a été effectuée par Chaurien.
gb
Re: Fonction à trouver
il y a huit jours
avatar
Personnellement, j'utilise un positionnement par rapport à 2 satellites GPS et j'utilise la relation \(|f(x)-f(y)|=|x-y|\) sous la forme : \(\big(f(x)-f(y)\big)^2=(x-y)^2\).

Pour des questions de symétrie, je me plais à choisir \(1\) et \(-1\) plutôt que \(0\) et \(1\). Je commence par remarquer que \(f(1)-f(-1)\) est non nul, car de valeur absolue \(2\).

Ensuite je détermine ma distance aux satellites:
\begin{align*}
\big(f(x)-f(-1)\big)^2 &= (x+1)^2 & f(x)^2 - 2f(-1)f(x) + f(-1)^2 =x^2+2x+1 \\
\big(f(x)-f(1)\big)^2 &= (x-1)^2 & f(x)^2 - 2f(1)f(x) + f(1)^2 =x^2-2x+1
\end{align*}
ce qui fournit par différence :
\[2\big(f(1)-f(-1)\big)f(x) + f(-1)^2 - f(1)^2 = 4x\]
et l'expression de \(f(x)\)...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit jours et a été effectuée par AD.
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 124 390, Messages: 1 187 798, Utilisateurs: 19 576.
Notre dernier utilisateur inscrit soben.


Ce forum
Discussions: 26 687, Messages: 247 803.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page