Extremums d'une fonctions à deux variables

Salut à tous
Soit $f$ la fonction à deux variables suivante $f(x,y)=x\ln(y) - y.$ Je voudrais déterminer ses extremums, voilà ce que j'ai fait.

On a un seul point critique c-à-d qui vérifie $grad f(x,y) = (\ln y, \frac{x}{y}-1) =(0,0)$, qui est $(1,1)$.
La matrice Hessienne $H_f$ de $f$ est donnée par :
$H_f(x,y) =
\begin{pmatrix}
0 &1/y \\
0 & \frac{-x}{y^2}\\
\end{pmatrix} $, donc $H_f(1,1) =
\begin{pmatrix}
0 &1 \\
0 & -1\\
\end{pmatrix} $ ce qui implique $\det H_f(1,1) =0$.
On doit donc chercher le signe de $f(1+h, 1+k) - f(1,1) $. Pour cela :
- Par un calcul direct j'ai trouvé $f(1+h, 1+k) - f(1,1) = (1+h) \ln(1+k) - k$;
- Et par la formule de Taylor d'ordre 2, j'ai trouvé que $f(1+h, k+1) - f(1,1) = hk/y + R(h,k)$ où $\lim_{(h,k)\to (0,0)} R(h,k)= 0$.

Comment donc décider du signe de $f(1+h, 1+k) - f(1,1) $ (soit par le calcul direct ou par la formule de Taylor) pour conclure en fin la nature du point $(1,1)$ ?
Merci d'avance.