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Extremums d'une fonctions à deux variables

Envoyé par Zakariyae 
Extremums d'une fonctions à deux variables
il y a sept jours
avatar
Salut à tous
Soit $f$ la fonction à deux variables suivante $f(x,y)=x\ln(y) - y.$ Je voudrais déterminer ses extremums, voilà ce que j'ai fait.

On a un seul point critique c-à-d qui vérifie $grad f(x,y) = (\ln y, \frac{x}{y}-1) =(0,0)$, qui est $(1,1)$.
La matrice Hessienne $H_f$ de $f$ est donnée par :
$H_f(x,y) =
\begin{pmatrix}
0 &1/y \\
0 & \frac{-x}{y^2}\\
\end{pmatrix} $, donc $H_f(1,1) =
\begin{pmatrix}
0 &1 \\
0 & -1\\
\end{pmatrix} $ ce qui implique $\det H_f(1,1) =0$.
On doit donc chercher le signe de $f(1+h, 1+k) - f(1,1) $. Pour cela :
- Par un calcul direct j'ai trouvé $f(1+h, 1+k) - f(1,1) = (1+h) \ln(1+k) - k$;
- Et par la formule de Taylor d'ordre 2, j'ai trouvé que $f(1+h, k+1) - f(1,1) = hk/y + R(h,k)$ où $\lim_{(h,k)\to (0,0)} R(h,k)= 0$.

Comment donc décider du signe de $f(1+h, 1+k) - f(1,1) $ (soit par le calcul direct ou par la formule de Taylor) pour conclure en fin la nature du point $(1,1)$ ?
Merci d'avance.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a sept jours et a été effectuée par AD.
gb
Re: Extremums d'une fonctions à deux variables
il y a sept jours
avatar
Bonjour,

Il faudrait écrire de façon plus précise le reste, mais le terme principal du développement limité, c'est-à-dire \(hk\) (il me semble qu'il traîne un \(y\) au dénominateur qui n'a pas lieu d'être), n'est pas de signe constant, ce qui règle la question.

Sinon, en étudiant directement le signe de : \(f(x,y)-f(1,1)\), il est facile de régionner le plan pour visualiser le comportement de \(f\) au voisinage du point critique et conclure.

PS : si le DL est rectifié dans le message du demandeur, il serait bon de modifier également ma réponse ... (merci AD smiling smiley)



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a sept jours et a été effectuée par AD.
Re: Extremums d'une fonctions à deux variables
il y a six jours
avatar
Bonjour,

Erreur de calcul sur le coefficient $(2,1)$ dans la hessienne : on a ${\partial \over \partial y} {\ln y} ={1 \over y}$ et non pas $0.$
Re: Extremums d'une fonctions à deux variables
il y a six jours
Si tu corriges comme te l'as dit YvesM ta hessienne (qui est nécessairement symétrique car $f$ est $C^2$), tu trouveras un déterminant de signe strictement négatif en $(1,1)$ ce qui règle la question.

Il me semble d'ailleurs qu'on peut le voir en étudiant les fonctions $t\mapsto f(t,t)$ et $y\mapsto f(1,y)$.

PS : dans ta formule de Taylor, $R(h,k)$ est en fait un $o(\|(h,k)\|^2)$.
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