comparaison séries intégrales

raboteux · December 2017

Bonjour à tous,

je bloque sur la compréhension d'une inégalité dans cet extrait de cours :

extrait

Je ne comprends pas comment on arrive à encadrer l'aire des deux rectangles par f(n).
Je comprends par contre que le rectangle n/n+1 soit plus petit que le rectangle n-1/n (car fonction décroissante) mais je ne comprends pas pourquoi f(n) se trouve au milieu de l'inégalité.

Merci par avance pour vos lumières.

Fin de partie · December 2017

l'intégrale d'une fonction constante $g(x)=a>0$ sur l'intervalle $[n,n+1]$ vaut $a$ (aire d'un rectangle de côtés $a$,$1$)

gerard0 · December 2017

Bonjour.

Fais apparaître sur la figure des rectangles de base 1, d'aires f(n) et f(n+1) (donc de hauteurs correspondantes) et les aires correspondant à ces intégrales. Si tu sais comment on trouve f(n), ça devrait aller.

Il existe aussi des preuves basées sur la définition de "f est décroissante sur [n, n+1]".

Cordialement.

Chaurien · December 2017

Ben comme souvent, c'est mal expliqué. Il y en a, au lieu de faire des livres, ils feraient mieux de planter des carottes.
La figure de base, celle de qui tout dépend, c'est celle de droite. C'est celle qu'il faut retenir.
Pour une fonction $f$ décroissante : $f(n+1)\leq \int_{n}^{n+1}f(t)dt\leq f(n)$. Encadrement très important.
Changeant $n$ en $n-1$ il vient : $f(n)\leq \int_{n-1}^{n}f(t)dt\leq f(n-1)$.
En conséquence : $\int_{n}^{n+1}f(t)dt\leq f(n)\leq \int_{n-1}^{n}f(t)dt$.
Encadrement dont je ne vois pas l'intérêt d'ailleurs, contrairement au précédent.
Il y a des bouquins comme ça, ils sont bien utiles pour caler les tables bancales.
Bonne journée.
Fr. Ch.

Fin de partie · December 2017

$f(n)$ est égale à l'aire du rectangle de gauche.

$\displaystyle \int_{n-1}^{n}f(t)\,dt$ est l'aire sous la courbe de $f$ entre $n-1$ et $n$.
Le rectangle de gauche est une partie de cette surface.

$\displaystyle \int_{n}^{n+1}f(t)\,dt$ est l'aire sous la courbe de $f$ entre $n$ et $n+1$.

Le rectangle de droite a la même aire que le rectangle de gauche et clairement l'aire sous la courbe de $f$ entre $n$ et $n+1$ est plus grande petite que l'aire de ce rectangle.

(on est dans le cas $f$ décroissante)

raboteux · December 2017

Merci énormément pour cette explication fin de partie.
Avec les bon mots, on comprend tout du premier coup.
Je n'arrivais pas à assimiler f(n) à une aire, je la prenais simplement pour une hauteur d'où mon incapacité à comprendre car je n'avais pas vu que le coté du rectangle fait n-(n-1)= 1. le bouquin ne faisant pas apparaître le 1 bien sûr.

Chaurien · December 2017

Trêve de bla-bla.
Soit $a \in \mathbb N$, et soit une fonction $f$ définie sur $[a,+\infty \lbrack $, à valeurs réelles, décroissante.
L'encadrement qu'il faut retenir c'est pour $n \geq a$ : $ \displaystyle f(n+1)\leq \int_{n}^{n+1}f(t)dt\leq f(n)$.
On le mémorise facilement avec le dessin des deux rectangles encadrant le trapèze « mixtiligne ». C'est la figure À RETENIR ! Mais bien sûr on peut le démontrer par le pur calcul.
Le premier intérêt de cet encadrement c'est d'évaluer la somme $\displaystyle S_{n}=\overset{n}{\underset{k=a}{\sum }}f(k)$ au moyen de l'intégrale $\displaystyle I_{n}=\int_{a}^{n}f(t)dt$, souvent plus facile à calculer que la somme $S_n$.
La sommation de l'encadrement précédent conduit à : $\displaystyle \overset{n-1}{\underset{k=a}{\sum }}f(k+1)\leq \int_{a}^{n}f(t)dt\leq \overset{n-1}{\underset{k=a}{\sum }}f(k)$, soit : $S_{n}-f(a)\leq I_{n}\leq S_{n}-f(n)$.
Zut, on encadre ce qu'on connaît par ce qu'on ne connaît pas !
Mais bon, on s'en remet immédiatement : $I_{n}+f(n)\leq S_{n}\leq I_{n}+f(a)$.
Et ainsi de suite...
Ça marche aussi pour les restes de séries. Et aussi pour les $f$ croissantes, mutatis mutandis.
Comme on voit, le second encadrement du bouquin en question NE SERT À RIEN.
Bonne journée.
Fr. Ch.

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