Une récurrence coriace

Bonjour,
Le lien sur MSE?

Une idée, qui ne va pas tout à fait jusqu'au bout...
Soit $b_{n}=1-a_{n}$. La suite $b_n$ est régie par la relation de récurrence : $ b_{n+1}=g(b_{n})$, avec : $g(x)=x+(1-x)\ln (1-x)$.
Si $b_1 \in [0,1[$ alors la suite $b_n $ est décroissante et converge vers $0$. En particulier si $b_1= \frac 12$, ce qui est l'hypothèse.
Pour $x\in \lbrack 0,1]$, on a : $\displaystyle \frac{g(x)}{x^{2}}=\overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}\frac{x^{n}}{(n+1)(n+2)}$. La fonction $x\mapsto \frac{g(x)}{x^{2}}$ est donc croissante sur $[0,1]$.
Si $0 \leq x \leq \frac 12$, alors : $\frac{g(x)}{x^{2}}\leq 4g(\frac{1}{2})=2(1-\ln 2)=\lambda \simeq 0,6137$.
Il en résulte : $b_{n+1}=g(b_{n})\leq \lambda b_{n}^{2}$, d'où : $\displaystyle \frac{\ln b_{n+1}}{2^{n+1}}\leq \frac{\ln b_{n}}{2^{n}}+\frac{\ln \lambda }{2^{n+1}}$, et par suite :
$\displaystyle \frac{\ln b_{n}}{2^{n}}\leq \frac{\ln b_{1}}{2}+\overset{n-1}{\underset{k=1}{\sum }}\frac{\ln \lambda }{2^{k+1}}<\frac{\ln b_{1}}{2}+\overset{+\infty }{\underset{k=1}{\sum }}\frac{\ln \lambda }{2^{k+1}}=-\frac{1}{2}\ln 2+\frac{1}{2}\ln \lambda =\frac{1}{2}\ln (1-\ln 2)$.
On en déduit : $b_{n} < e^{2^{n-1} \ln (1-\ln 2)}=q^{2^{n-1}}$, avec : $q=1-\ln 2\simeq 0,30685$.
Et enfin : $\displaystyle \overset{+\infty }{\underset{n=1}{\sum }}b_{n}<\overset{+\infty }{\underset{n=1}{\sum }}q^{2^{n-1}}$.

En ce moment je manque de moyens de calcul, alors je ne saurais dire si ce majorant convient, mais j'en ai le doux espoir...
Quelle est la référence exacte de cet énoncé ?

Bonne soirée.
Fr. Ch.
05/12/2017

ATTENTION, IL Y A DES ERREURS, VOIR PLUS BAS

Oui, je viens aussi de voir une grave erreur tenant au fait que j'ai pris $\ln \lambda$ pour positif.
Bon ça ne marche pas...

En fait, c'est beaucoup plus simple. Je garde le raisonnement jusqu'à $b_{n+1}\leq \lambda b_{n}^{2}$, qui me semble bon. Et comme $b_{1}=\frac{1}{2}$, j'en déduis : $b_{n}\leq \lambda ^{2^{n-1}-1}(\frac{1}{2})^{2^{n-1}}$. Ceci me donne une série plus petite que la précédente, dont les calculateurs doivent donner la somme approchée, qui fournira un majorant.
En espérant qu'il n'y a pas encore des erreurs.
Mille excuses.
Fr. Ch.

[small]À mesur' que je deviens vieux
Je m´en aperçois mieux
J´ai le cerveau qui flanche
Soyons sérieux disons le mot
C´est mêm' plus un cerveau
C´est comm' de la sauc' blanche[/small]

L'union fait la force.
On a ga-gné ! (:P)

Merci Gebrane.
Mon idée était de ramener le point fixe limite en 0, avec une convergence pourrait-on dire super-exponentielle parce que la dérivée est nulle en ce point fixe. C'était une bonne idée, mais j'ai fait une drôle d'erreur qui tient à une application mécanique de techniques : radotage... Heureusement que gb était vigilant. Mais il faudra que je me dote de moyens de calcul convenables.
Bonne soirée.
Fr. Ch.