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Une récurrence coriace

Envoyé par Bloy.noel 
Une récurrence coriace
il y a dix jours
avatar
Bonjour je vous propose le problème suivant que j'ai rencontré sur Maths Stack Exchange :
Définissons la relation de récurrence suivante pour $a_1=0.5$ :
$$a_{n+1}=a_n-a_nln(a_n)$$
Montrer alors l'inégalité suivante :
$$\sum_{k=1}^{n}(1-a_k)<\frac{2}{3}$$

Mon approche :
On a donc la condition :
$a_{n+1}=a_n-a_n\ln(a_n)$

Or

$a_{n+1}=e^{\ln(a_n)}(1-\ln(a_n))$

Or

$a_{n+1}=-e[e^{(\ln(a_n)-1)}(\ln(a_n)-1)]$

Or

$W_{}(\frac{a_{n+1}}{-e})=ln(a_n)-1$$\quad$ou $W_{}$ est la fonction de Lambert.

Or

$e^{(W(\frac{a_{n+1}}{-e})+1)}=a_n$

Or

$e[\frac{\frac{a_{n+1}}{-e}}{W(\frac{a_{n+1}}{-e})}]=a_n$

Or :

$\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{-1}{W(\frac{a_{n+1}}{-e})}$

Après je n'ai pas d'idées spéciales à proposer .
Si en fait il y aurait la récurrence de Fritsch.

Bien cordialement.

Le nombre de Dottie ou...ce qu'il en reste [math.stackexchange.com]
Re: Une récurrence coriace
il y a dix jours
avatar
Bonjour,
Le lien sur MSE?

--------------------------------------------------------------------------
[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]
Re: Une récurrence coriace
il y a dix jours
avatar
Salut Gebrane, aussi tôt dis aussi tôt fait [math.stackexchange.com]

Bonne journée à toi .

Le nombre de Dottie ou...ce qu'il en reste [math.stackexchange.com]
Re: Une récurrence coriace
il y a dix jours
Une idée, qui ne va pas tout à fait jusqu'au bout...
Soit $b_{n}=1-a_{n}$. La suite $b_n$ est régie par la relation de récurrence : $ b_{n+1}=g(b_{n})$, avec : $g(x)=x+(1-x)\ln (1-x)$.
Si $b_1 \in [0,1[$ alors la suite $b_n $ est décroissante et converge vers $0$. En particulier si $b_1= \frac 12$, ce qui est l'hypothèse.
Pour $x\in \lbrack 0,1]$, on a : $\displaystyle \frac{g(x)}{x^{2}}=\overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}\frac{x^{n}}{(n+1)(n+2)}$. La fonction $x\mapsto \frac{g(x)}{x^{2}}$ est donc croissante sur $[0,1]$.
Si $0 \leq x \leq \frac 12$, alors : $\frac{g(x)}{x^{2}}\leq 4g(\frac{1}{2})=2(1-\ln 2)=\lambda \simeq 0,6137$.
Il en résulte : $b_{n+1}=g(b_{n})\leq \lambda b_{n}^{2}$, d'où : $\displaystyle \frac{\ln b_{n+1}}{2^{n+1}}\leq \frac{\ln b_{n}}{2^{n}}+\frac{\ln \lambda }{2^{n+1}}$, et par suite :
$\displaystyle \frac{\ln b_{n}}{2^{n}}\leq \frac{\ln b_{1}}{2}+\overset{n-1}{\underset{k=1}{\sum }}\frac{\ln \lambda }{2^{k+1}}<\frac{\ln b_{1}}{2}+\overset{+\infty }{\underset{k=1}{\sum }}\frac{\ln \lambda }{2^{k+1}}=-\frac{1}{2}\ln 2+\frac{1}{2}\ln \lambda =\frac{1}{2}\ln (1-\ln 2)$.
On en déduit : $b_{n} < e^{2^{n-1} \ln (1-\ln 2)}=q^{2^{n-1}}$, avec : $q=1-\ln 2\simeq 0,30685$.
Et enfin : $\displaystyle \overset{+\infty }{\underset{n=1}{\sum }}b_{n}<\overset{+\infty }{\underset{n=1}{\sum }}q^{2^{n-1}}$.

En ce moment je manque de moyens de calcul, alors je ne saurais dire si ce majorant convient, mais j'en ai le doux espoir...
Quelle est la référence exacte de cet énoncé ?

Bonne soirée.
Fr. Ch.
05/12/2017

ATTENTION, IL Y A DES ERREURS, VOIR PLUS BAS



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a dix jours et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Chaurien.
gb
Re: Une récurrence coriace
il y a dix jours
avatar
Chaurien &eacute;crivait:
-------------------------------------------------------
On en déduit : $b_{n}\leq e^{2^{n-1} \ln (1-\ln 2)}=q^{2^{n-1}}$
-------------------------------------------------------

Problème à l'initialisation : \(0,5 = b_1 \leqslant q^{2^0} \simeq 0,30685\) !!!
Re: Une récurrence coriace
il y a dix jours
Oui, je viens aussi de voir une grave erreur tenant au fait que j'ai pris $\ln \lambda$ pour positif.
Bon ça ne marche pas...
gb
Re: Une récurrence coriace
il y a dix jours
avatar
Il ne faut pas majorer trop large :

\(b_1+b_2+b_3+b_4 \simeq 0,665\,926\,574\) à la précision de ma machine.
Re: Une récurrence coriace
il y a dix jours
En fait, c'est beaucoup plus simple. Je garde le raisonnement jusqu'à $b_{n+1}\leq \lambda b_{n}^{2}$, qui me semble bon. Et comme $b_{1}=\frac{1}{2}$, j'en déduis : $b_{n}\leq \lambda ^{2^{n-1}-1}(\frac{1}{2})^{2^{n-1}}$. Ceci me donne une série plus petite que la précédente, dont les calculateurs doivent donner la somme approchée, qui fournira un majorant.
En espérant qu'il n'y a pas encore des erreurs.
Mille excuses.
Fr. Ch.

À mesur' que je deviens vieux
Je m´en aperçois mieux
J´ai le cerveau qui flanche
Soyons sérieux disons le mot
C´est mêm' plus un cerveau
C´est comm' de la sauc' blanche




Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a dix jours et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Chaurien.
gb
Re: Une récurrence coriace
il y a dix jours
avatar
Je reprends les notations précédentes :

Citation
Chaurien
Soit $b_{n}=1-a_{n}$. La suite $b_n$ est régie par la relation de récurrence : $b_{n+1}=g(b_{n})$, avec : $g(x)=x+(1-x)\ln (1-x)$.
Si $b_1 \in [0,1[$ alors la suite $b_n $ est décroissante et converge vers $0$. En particulier si $b_1= \frac 12$, ce qui est l'hypothèse.

Pour $x$ dans $[0,1]$ : $\displaystyle \frac{g(x)}{x}=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{n+1}}{(n+1)(n+2)}$. La fonction $x\mapsto g(x)/x$ est donc croissante sur $[0,1]$.

Si $n \geq 3$, alors : \(\dfrac{b_{n+1}}{b_n} = \dfrac{g(b_n)}{b_n} \leqslant \dfrac{g(b_3)}{b_3} = \dfrac{b_4}{b_3} = q\) et par suite \(b_n \leqslant b_3 q^{n-3}\).

D'où la majoration :
\[\sum_{n=1}^{+\infty} b_n \leqslant b_1 + b_2 + \sum_{n=3}^{+\infty} b_3 q^{n-3} = b_1 + b_2 + \dfrac{b_3}{1-q} = b_1 + b_2 + \dfrac{b_3^2}{b_3-b_4} \simeq 0,665\,927\,060\,773\,904\,235\,357\]
avec ma babasse en double précision.
Re: Une récurrence coriace
il y a dix jours
L'union fait la force.
On a ga-gné ! spinning smiley sticking its tongue out
Re: Une récurrence coriace
il y a dix jours
avatar
Bravo

--------------------------------------------------------------------------
[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]
Re: Une récurrence coriace
il y a dix jours
Merci Gebrane.
Mon idée était de ramener le point fixe limite en 0, avec une convergence pourrait-on dire super-exponentielle parce que la dérivée est nulle en ce point fixe. C'était une bonne idée, mais j'ai fait une drôle d'erreur qui tient à une application mécanique de techniques : radotage... Heureusement que gb était vigilant. Mais il faudra que je me dote de moyens de calcul convenables.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Re: Une récurrence coriace
il y a dix jours
avatar
gb est un intervenant de qualité, j'espere qu'il restera actif au Forum pour un temps.

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[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]
Re: Une récurrence coriace
il y a neuf jours
avatar
Merci à tous pour votre participation, je vois d'ailleurs que mon inégalité n'a pas tenu longtemps face à la sagacité de Chaurien et Gb que je remercie chaleureusement pour avoir partagé leurs idées simples puissantes et efficaces.

En vous souhaitant une agréable soirée.

Le nombre de Dottie ou...ce qu'il en reste [math.stackexchange.com]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a neuf jours et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Une récurrence coriace
il y a neuf jours
On ne saura jamais d'où vient cet énoncé ?
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