Suite et spectre.

kaputo · December 2017

Bonjour.
Théorème: Soit $T$ un opérateur auto-adjoint de domaine $D(T)$ de $(L^2(\Bbb{R}^2), ||.||_2)$. Alors

$\lambda\in\sigma(T)$ si, et seulement si, il existe une suite $(u_n)\subset D(T)$ telle que $||u_n||_2=1$ pour tout $n\in\Bbb{N}$ et $\lim_n || (T-\lambda)u_n||_2=0$.

N.B $\sigma(T)$ le spectre de $T$. Je vais appliquer ce résultat sur $T$ avec $\lambda=0$.

Pour $T=-\Delta_{\Bbb{R}}+(x^2+y^2)$ avec $\Delta_{\Bbb{R}}$ est le laplacien usuel de $\Bbb{R}^2$. Voilà mon $(u_j)$

$||u_j||=1$ et $(x^2+y^2)u_j(x,y)$ converge en $L^2(\Bbb{R}^2)$ vers 0 où
$ u_j(x,y)=\left\{\begin{array}{rl}
\sqrt{2j(j+1)},& \mbox{si }x^2+y^2\in [\frac{1}{j+1},\frac{1}{j}] \\
0 ,& \mbox{sinon.}
\end{array}\right.$

Par un calcul en coordonnées polaires je trouve que $||u_n||_2=1$ pour tout $n\in\Bbb{N}$ et $\lim_n || (T-\lambda)u_n||_2=\lim_n || (x^2+y^2)u_n||_2=0$ et donc $0\in\sigma(T)$.

Ma question:. Il est bien connu que $0\not\in\sigma(T)=\{2(p+2), p\in\N\}$.

Ou est le problème?.

Merci infiniment.

kaputo · December 2017

On a : $\displaystyle || (x^2+y^2)u_{j}(x,y) ||^2= 2\Pi \int^{ \frac{1}{ \sqrt{j} } }_{ \frac{1}{ \sqrt{j+1} } } r^5 2j(j+1) dr=2\Pi j(j+1) \Big[\frac{1}{j^3}- \frac{1}{(j+1)^3}\Big]$.

Donc on a bien la convergence vers $0$ dans $L^2(\Bbb{\R}^2)$