Somme de Ramanujan

Bonjour,

Il suffit de suivre ce lien...

Elle est fausse

Bonjour,

L'équation $\displaystyle \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}}$ n'est valide que pour un nombre complexe $s$ dont la partie réelle est strictement plus grande que $1$.
$\zeta(-1)$ existe et vaut $-\dfrac{1}{12}$ mais n'est pas calculable par cette équation.
Il faut utiliser le prolongement analytique.
Dit autrement, $ \zeta(s)$ ne se calcule pas de la même façon suivant les valeurs de $s$.
Le paradoxe apparent n'en est pas un, c'est juste une arnaque connue depuis des lustres.
Il faudrait la transférer dans les blagues mathématiques.
Tu peux aussi chercher du côté de l'équation fonctionnelle de la fonction $ \zeta$.

Cordialement,

Rescassol

Le problème n'est pas le sens du symbole =, mais le sens de ce que l'on met de part et d'autre et dans le cas qui nous occupe, c'est le sens à donner à \(\sum_{n=1}^{\infty} n\).

En général, la notation \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) est une abréviation de \(\lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^N a_n\), lorsque cette limite existe…, et il gaut être conscient que la valeur de cette limite n'est pas le résultat d'une opération algébrique portant sur les termes \(a_n\).

Par exemple, pour tout nombre réel \(x\) différent de \(-1\) et pour tout entier naturel \(N\) non nul :
\begin{align*}
\sum_{n=1}^N (-1)^{n-1}x^n &= \frac{x}{1+x}\bigl(1-(-x)^N\bigr) &
\sum_{n=1}^N (-1)^{n-1}nx^{n-1} &= \frac{1}{(1+x)^2}\bigl(1-(-x)^N\bigr) + \frac{x}{1+x}N(-x)^{N-1}
\end{align*}

Si l'on fait tendre \(N\) vers l'infini, la limite n'existe que pour les nombres réels \(x\) appartenant à l'intervalle \(]-1,1[\)^* ; on écrit alors :
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}x^n &= \frac{x}{1+x} &
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}nx^{n-1} &= \frac{1}{(1+x)^2}
\end{align*}

Certains mathématiciens se sont permis d'utiliser ces égalités pour \(x=1\) ; ils ont donc écrit :
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} &= \frac{1}{2} &
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}n &= \frac{1}{4}
\end{align*}
ce qui ne pose aucun problème si l'on est conscient que la notation \(\sum_{n=1}^{\infty} n\) représente désormais \(\lim_{x\overset{>}{\to}1} \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^N a_n x^n\), lorsque cela a un sens. C'est ce que l'on appelle la sommation au sens d'Abel.

De nombreux autres procédés sommatoires ont été proposés^**...

Pour donner un sens à la somme des entiers, comme l'a dit Fin de partie, il faut dire que \(\sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}\), qui est défini comme somme de série si et seulement si \(\mathrm{Re}(s)>1\), est encore utilisé, lorsque la série diverge pour désigner la fonction \(\zeta\) de Riemann qui prolonge analytiquement la somme de la série.

La question n'est pas de savoir si l'égalité est vraie ou non, mais de savoir si le cadre dans lequel on peut lui donner un sens a un intérêt mathématique.

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* Si cette limite est prise avec la topologie usuelle de \(\mathbf{R}\). Si l'on dispose d'une topologie pour laquelle: \(\lim_{N\to\infty} 5^n=0\), on écrira sans problème : \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}5^n = \frac{5}{6}\). Mais il serait «malhonnête» de ne pas préciser que l'on a changé de topologie.

** Par exemple le procédé de Borel : \(\sum_{n=1}^{+\infty} a_n = \lim_{X\to+\infty} \int_0^X \left(\lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^N \dfrac{a_n x^n}{n!} \right)e^{-x} \,dx\), lorsque les diverses limites ont un sens.

Dé solé gerard0, mais il y a plus : dans l'espace des suites, on tente un prolongement de la forme linéaire \(\lim_{n\to\infty}\) à des suites divergentes, en imposant de conserver certaines propriétés.

Cela peut rester «des mathématiques du petit déjeuner» au sens de Jean Dieudonné, ou donner lieu à de féconds développements mathématiques.

$\eta(s) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} n^{-s}$ est plus facile à comprendre :

Avec un peu de travail on trouve que $\eta(s)$ converge pour $s > 0$ (série alternée) et que $\eta(0) \overset{def}=\lim_{s \to 0} \eta(s) = 1/2$.

On a donc envie de dire que dans un certain sens (celui de la régularisation zeta) $$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} = 1/2$$

En refaisant la même chose un peu différemment on trouve que $\eta(-1) = 1/4$, et en utilisant $\eta(s) = (1-2^{1-s}) \zeta(s)$ on trouve le résultat de départ, que la régularisation zeta de $\sum_{n=1}^\infty n$ est $-1/12$.

Ce qui est intéressant c'est alors de prouver que la régularisation zeta et la régularisation d'Abel donnent le même résultat pour $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} n^{-s}$. Pourquoi ? Parce que $\sum_{n=1}^N (-1)^{n+1} = \frac{1+(-1)^{N+1}}{2}$ donc le prolongement analytique de $\eta(s)$ s'obtient juste par sommation par parties.