Somme de Ramanujan
Bonjour, quelqu'un pourrait m'indiquer comment comprendre cette "loi" suivante:
1+2+3+4+.......jusqu'à l'infini = -1/12
En vous remerciant d'avance.
[ S'agissant d'un nom propre (Srinivâsa Aiyangâr Râmânujan), on s'efforcera de l'écrire comme il se doit, sans oublier la majuscule. Merci. jacquot ]
1+2+3+4+.......jusqu'à l'infini = -1/12
En vous remerciant d'avance.
[ S'agissant d'un nom propre (Srinivâsa Aiyangâr Râmânujan), on s'efforcera de l'écrire comme il se doit, sans oublier la majuscule. Merci. jacquot ]
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Réponses
Il suffit de suivre ce lien...
Ce n'est pas une loi.
Le plus difficile à comprendre dans cette égalité c'est le " = ".
e.v.
[ Coucou hyperbolique à gb. ]
Mais Ramanujan, sous quelques conditions a reussi à la faire converger vers -1/12, avec une méthodologie qui m'échappe.
je veux juste comprendre le cadre qui fait que sa marche.
merci ev.
Mais admettez que son raisonnement est discutable, et pire encor faux, je connaissais cette vidéo.
moi je veux juste comprendre le cadre formel qui fait qu'on arrrive à ce résultat.
respectueusement.
A partir du moment que tu changes la signification du symbole =, tu peux écrire que n'importe quoi est à égal à n'importe quoi d'autre.
Je ne sais pas si c'est expliqué dans la vidéo mais formellement on a:
$\displaystyle \zeta(-1)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{-1}}$ ("égalité" qui est purement formelle)
On se permet de faire $s=-1$ dans l'égalité,
$\displaystyle \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}}$
Cette égalité n'est vraie que pour un nombre complexe $s$ dont la partie réelle est strictement plus grande que $1$
La valeur de $\zeta(-1)$ existe bien (la fonction $\zeta$ admet un prolongement holomorphe à tout nombre complexe qui n'est pas $1$) et elle vaut $-\frac{1}{12}$ (l'égalité est vraie).
Mais on est éloigné de la formulation 1+2+3+4+... jusqu'à l'infini= -1/12
Bien à vous.
Merci de m'éclairer.
L'équation $\displaystyle \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}}$ n'est valide que pour un nombre complexe $s$ dont la partie réelle est strictement plus grande que $1$.
$\zeta(-1)$ existe et vaut $-\dfrac{1}{12}$ mais n'est pas calculable par cette équation.
Il faut utiliser le prolongement analytique.
Dit autrement, $ \zeta(s)$ ne se calcule pas de la même façon suivant les valeurs de $s$.
Le paradoxe apparent n'en est pas un, c'est juste une arnaque connue depuis des lustres.
Il faudrait la transférer dans les blagues mathématiques.
Tu peux aussi chercher du côté de l'équation fonctionnelle de la fonction $ \zeta$.
Cordialement,
Rescassol
$\sum_{n\ge 1} \frac 1 {n^{-1}}=\sum_{n\ge 1} n=1=1+2+3+ ...$
Cette "égalité" revient à utiliser une formule (valable pour des exposants complexes de partie entière strictement supérieures à 1) pour une valeur où elle n'est plus valable.
Cordialement.
En général, la notation \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) est une abréviation de \(\lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^N a_n\), lorsque cette limite existe…, et il gaut être conscient que la valeur de cette limite n'est pas le résultat d'une opération algébrique portant sur les termes \(a_n\).
Par exemple, pour tout nombre réel \(x\) différent de \(-1\) et pour tout entier naturel \(N\) non nul :
\begin{align*}
\sum_{n=1}^N (-1)^{n-1}x^n &= \frac{x}{1+x}\bigl(1-(-x)^N\bigr) &
\sum_{n=1}^N (-1)^{n-1}nx^{n-1} &= \frac{1}{(1+x)^2}\bigl(1-(-x)^N\bigr) + \frac{x}{1+x}N(-x)^{N-1}
\end{align*}
Si l'on fait tendre \(N\) vers l'infini, la limite n'existe que pour les nombres réels \(x\) appartenant à l'intervalle \(]-1,1[\)* ; on écrit alors :
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}x^n &= \frac{x}{1+x} &
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}nx^{n-1} &= \frac{1}{(1+x)^2}
\end{align*}
Certains mathématiciens se sont permis d'utiliser ces égalités pour \(x=1\) ; ils ont donc écrit :
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} &= \frac{1}{2} &
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}n &= \frac{1}{4}
\end{align*}
ce qui ne pose aucun problème si l'on est conscient que la notation \(\sum_{n=1}^{\infty} n\) représente désormais \(\lim_{x\overset{>}{\to}1} \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^N a_n x^n\), lorsque cela a un sens. C'est ce que l'on appelle la sommation au sens d'Abel.
De nombreux autres procédés sommatoires ont été proposés**...
Pour donner un sens à la somme des entiers, comme l'a dit Fin de partie, il faut dire que \(\sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}\), qui est défini comme somme de série si et seulement si \(\mathrm{Re}(s)>1\), est encore utilisé, lorsque la série diverge pour désigner la fonction \(\zeta\) de Riemann qui prolonge analytiquement la somme de la série.
La question n'est pas de savoir si l'égalité est vraie ou non, mais de savoir si le cadre dans lequel on peut lui donner un sens a un intérêt mathématique.
* Si cette limite est prise avec la topologie usuelle de \(\mathbf{R}\). Si l'on dispose d'une topologie pour laquelle: \(\lim_{N\to\infty} 5^n=0\), on écrira sans problème : \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}5^n = \frac{5}{6}\). Mais il serait «malhonnête» de ne pas préciser que l'on a changé de topologie.
** Par exemple le procédé de Borel : \(\sum_{n=1}^{+\infty} a_n = \lim_{X\to+\infty} \int_0^X \left(\lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^N \dfrac{a_n x^n}{n!} \right)e^{-x} \,dx\), lorsque les diverses limites ont un sens.
On a la formule vraie $\mid x\mid <1$
$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\frac{1}{1-x}$
Si on se permet indument de prendre $x=-1$ on obtient:
$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}=\frac{1}{2}$
Mais j'avoue que je m'y perds....
Oû est passé le -1/12 dans cette sommation pleine d'astuces.
Admettez que ce ne va pas de soi et que c'est contraire au bon sens ordinaire...
Dans ces conditions on peut donner du sens à n'importe quelle fraction en tant que limite sur l'infini d'une série!
Je me souviens de mes vieilles études en prépa:
hyp
concl
dém.
ici où sont passées toutes les hypothèses?
bien amicalement
curieux57.
Pour $s=-1, \zeta(s)=-\frac 1 {12}$ et $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}}$ est une écriture formelle de $1+2+3+...$.
Cordialement.
(*) Évidemment, il ne s'agit plus de la notion de série vue en prépas, mais de séries formelles.
Cela peut rester «des mathématiques du petit déjeuner» au sens de Jean Dieudonné, ou donner lieu à de féconds développements mathématiques.
Bien à vous.
Avec un peu de travail on trouve que $\eta(s)$ converge pour $s > 0$ (série alternée) et que $\eta(0) \overset{def}=\lim_{s \to 0} \eta(s) = 1/2$.
On a donc envie de dire que dans un certain sens (celui de la régularisation zeta) $$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} = 1/2$$
En refaisant la même chose un peu différemment on trouve que $\eta(-1) = 1/4$, et en utilisant $\eta(s) = (1-2^{1-s}) \zeta(s)$ on trouve le résultat de départ, que la régularisation zeta de $\sum_{n=1}^\infty n$ est $-1/12$.
Ce qui est intéressant c'est alors de prouver que la régularisation zeta et la régularisation d'Abel donnent le même résultat pour $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} n^{-s}$. Pourquoi ? Parce que $\sum_{n=1}^N (-1)^{n+1} = \frac{1+(-1)^{N+1}}{2}$ donc le prolongement analytique de $\eta(s)$ s'obtient juste par sommation par parties.
Me voilà à peu près fixé sur le niveau de connaissances et au degrés d'abstraction dont il faut faire preuve.
Mais j'ai absolument bien à l'esprit que de nombreuses conditions doivent être posées pour faire une telle addition au voisinage de l'infini.
Mais bon, je reste absolument sceptique et sur ma faim...
En fait c'est pas très rationnel tout ça.
Si je peux me permettre cette question:
Etes vous convaincu vous même de ce résultat?
Toujours est-il qu'un physicien du nom de Hendrik Casimir , dans les années 50, se servit de ce résultat pour l'un de ses calculs et qui aboutira au phénomène de "l'effet casimir"....( ce n'est pas une supercherie!!)
Cordialement.
Curieux57