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Somme et trigonométrie

ToborockeurToborockeur
dans Analyse
Bonjour à tous !

Je me propose de calculer cette somme : $\quad\sum\limits_{k=0}^n \cos(x+ky),\ $ où $x,\,y$ sont deux réels arbitraires.
J'ai beau m'amuser avec les formules trigonométriques, je n'arrive à rien. Je reconnais bien une suite arithmétique dans le cosinus, mais cela ne m'aide pas non plus.
Auriez-vous des indications ? Merci.

Réponses

  • ToborockeurToborockeur
    Edit: je viens de penser à utiliser la somme $\sum_{k=0}^n exp(i(x+ky))$
  • gebranegebrane
    Si tu n'aimes pas les complexes $\quad\sum\limits_{k=0}^n \cos(x+ky)=\cos(x)\quad\sum\limits_{k=0}^n \cos(ky)+\sin(x)\quad\sum\limits_{k=0}^n \sin(ky)$
    En suite tu peux utiliser le télescopage : $2 \sin(x/2)\cos(kx) = \sin((k+1/2)x)-\sin((k-1/2)x)$
    Le 😄 Farceur


  • jean lismondejean lismonde
    bonsoir

    notre ami Gebrane a commis une petite erreur de signe

    en fait : $cos(x + ky) = cos(x).cos(ky) - sin(x).sin(ky)$

    d'où les deux sommes : $\Sigma_0^ncos(kx)$ et $\Sigma_0^nsin(ky)$

    dont on connait les formes explicitées en n

    finalement la somme de Toborocker (avec y différent de $2p\pi$) est :

    $$\frac{sin(n+1)\frac{y}{2}.cos(x +n\frac{y}{2})}{sin\frac{y}{2}}$$

    cordialement
  • ToborockeurToborockeur
    Merci pour vos indications. Je vais essayer avec cette méthode.
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