$\sup\{r\in\mathbb{R}\mid\phi(r)\leq s\}=0$ ?
Réponses
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Bonjour,
Quelle quantification porte sur \(s\) ? -
je n'ai pas compris votre question Mr gb.
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La propriété satisfaite par \(\phi\) est elle :
\[\exists s\in[0,+\infty[,\quad \sup\{r\in \mathbb{R}_+, \phi(r)\leq s\}=0\]
ou
\[\forall s\in[0,+\infty[,\quad \sup\{r\in \mathbb{R}_+, \phi(r)\leq s\}=0 \text{ ?}\] -
il est dit " soit $s\in \mathbb{R}_+$, tel que $\sup\{r\in \mathbb{R}_+, \phi(r)\leq s\}=0$
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Tout ce que je vois à dire est:
\[x>0 \implies x\notin\lbrace r\in\mathbf{R}_+,\phi(r) \leqslant s \rbrace \implies \phi(x)>s.\] -
On peut travailler avec des suites ? pour utiliser la continuité de $\phi$ ?
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Il est toujours possible de travailler avec des suites pour utiliser la continuité d'une fonction.
Encore faudrait-il savoir quel est le résultat que l'on veut établir ; pour l'instant l'énoncé ne fournit que des hypothèses, sans poser de question. -
La question n'est pas claire, si je prends $\phi(x)=x$ alors $\sup\{r\in \mathbb{R}_+, \phi(r)\leq s\}=s$ donc le seul cas où ce sup est égale à 0 c'est lorsque $s=0$Le 😄 Farceur
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J'ai une fonction $\phi:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+$
1) non décroissante, continue à droite
2) $\phi(t)=0$ si, et seulement si $t=0$
3) $\phi(t)\to+\infty$ lorsque $t\to+\infty$
4) $\phi(t)>0$ lorsque $t>0$
5) $\phi$ est impaire.
On définit $\tilde{\phi}(s)$ par $\quad
\tilde{\phi}(s)=\sup\{t\in \mathbb{R}_+\mid \phi(t)\leq s\}
$
Le but est de montrer que $$\tilde{\phi}(s)=0\Longleftrightarrow s=0$$
Si je suppose que $s=0$ alors $\tilde{\phi}(s)=\sup\{t\in \mathbb{R}_+\mid \phi(t)\leq0\}=\sup\{t\in\mathbb{R}_+\mid \phi(t)=0\}=\sup\{t\in \mathbb{R}_+\mid t=0\}=0$
Le problème est que si je suppose que $\tilde{\phi}(s)=0$ ce la veut dire que
$
\sup\{t\in\mathbb{R}_+\mid \phi(t)\leq s\}=0.
$
Je ne sais pas comment continuer. -
L’hypothèse 5 n'a aucun sens puisque $\phi$ est définie sur $\R^+$
Un contre exemple: prendre $\phi(t)=t+1,\forall t>0, \phi(0)=0$ et $s=1$, tu as bien $\tilde{\phi}(s)=0$ pourtant $s\neq 0$Le 😄 Farceur -
@phare
quelle hypothèse? et pourquoi tu dis que l'implication est fausse dans ce message http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1576736,1576868#msg-1576868Le 😄 Farceur -
ah oui j'ai oublié la continuité à droite en 0
mais l'implication de topo est juste car $\phi(0)=0$Le 😄 Farceur -
Un contre exemple : prendre $\phi(t)=0 $ si $0\leq t<1$ et $\phi(t)=t$ si $t\geq 1$ et $s=\frac 12$Le 😄 Farceur
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Pourquoi ? je suis à moitié endormi :-DLe 😄 Farceur
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@ gebrane : propriété 2
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Ok merci
je m'alite tout de suiteLe 😄 Farceur -
Dans cette réponse, j'ai (presque...) établi que, si \(\tilde\phi(s)=0\), alors \(\phi\) est minorée par \(s\), donc répondu à la question (qui était inconnue à cette date).
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soit $s\in \mathbb{R}_+^*$, tel que $\sup\{r\in \mathbb{R}_+, \phi(r)\leq s\}=0$
il suffit de considérer l'ouvert $\{r\in \mathbb{R}_+, \phi(r)< s/2\}$ de $ \mathbb{R}_+$qui contient 0 pour trouver une contradiction -
La preuve de gb que je viens de comprendre ce matin est parfaite
@Said Fubini
1-Il y a un point qui m’échappe, pourquoi la continuité à droite suffit pour voir que ton ensemble est un ouvert de $\R^+$
2- Quand tu dis ouvert de $\R^+$, c'est au sens d'un ouvert de $\R$ inclus dans $\R^+$ ou bien au sens de la topologie induite de $\R$ sur $\R^+$?Le 😄 Farceur -
@ gebrane :oui $\{r\in \mathbb{R}_+, \phi(r)< s/2\}$ est un de ouvert $ \mathbb{R}_+$qui contient 0 pour la topologie induite .
car $\phi $ est continue.
L'objectif est de montrer que $\{r\in \mathbb{R}_+, \phi(r)< s/2\}$ contient $[0,\eta]$ pour un $\eta >0$ pour trouver la contradiction
sinon on peut le voir autrement sans passer par la topologie induite en prolongenat $\phi$ par $0$ sur $\mathbb{R}_-$ -
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