$\sup\{r\in\mathbb{R}\mid\phi(r)\leq s\}=0$ ?

J'ai une fonction $\phi:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+$
1) non décroissante, continue à droite
2) $\phi(t)=0$ si, et seulement si $t=0$
3) $\phi(t)\to+\infty$ lorsque $t\to+\infty$
4) $\phi(t)>0$ lorsque $t>0$
5) $\phi$ est impaire.
On définit $\tilde{\phi}(s)$ par $\quad
\tilde{\phi}(s)=\sup\{t\in \mathbb{R}_+\mid \phi(t)\leq s\}
$
Le but est de montrer que $$\tilde{\phi}(s)=0\Longleftrightarrow s=0$$
Si je suppose que $s=0$ alors $\tilde{\phi}(s)=\sup\{t\in \mathbb{R}_+\mid \phi(t)\leq0\}=\sup\{t\in\mathbb{R}_+\mid \phi(t)=0\}=\sup\{t\in \mathbb{R}_+\mid t=0\}=0$

Le problème est que si je suppose que $\tilde{\phi}(s)=0$ ce la veut dire que
$
\sup\{t\in\mathbb{R}_+\mid \phi(t)\leq s\}=0.
$
Je ne sais pas comment continuer.