J'ai une fonction $\phi:[0,+\infty[\to[0,+\infty[$ continue, que peut-on déduire du fait que pour $s\in [0,+\infty[$ $$
\sup\{r\in \mathbb{R}_+\mid \phi(r)\leq s\}=0
$$ Merci.
La propriété satisfaite par \(\phi\) est elle :
\[\exists s\in[0,+\infty[,\quad \sup\{r\in \mathbb{R}_+, \phi(r)\leq s\}=0\]
ou
\[\forall s\in[0,+\infty[,\quad \sup\{r\in \mathbb{R}_+, \phi(r)\leq s\}=0 \text{ ?}\]
Il est toujours possible de travailler avec des suites pour utiliser la continuité d'une fonction.
Encore faudrait-il savoir quel est le résultat que l'on veut établir ; pour l'instant l'énoncé ne fournit que des hypothèses, sans poser de question.
La question n'est pas claire, si je prends $\phi(x)=x$ alors $\sup\{r\in \mathbb{R}_+, \phi(r)\leq s\}=s$ donc le seul cas où ce sup est égale à 0 c'est lorsque $s=0$
J'ai une fonction $\phi:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+$
1) non décroissante, continue à droite
2) $\phi(t)=0$ si, et seulement si $t=0$
3) $\phi(t)\to+\infty$ lorsque $t\to+\infty$
4) $\phi(t)>0$ lorsque $t>0$
5) $\phi$ est impaire.
On définit $\tilde{\phi}(s)$ par $\quad
\tilde{\phi}(s)=\sup\{t\in \mathbb{R}_+\mid \phi(t)\leq s\}
$
Le but est de montrer que $$\tilde{\phi}(s)=0\Longleftrightarrow s=0$$ Si je suppose que $s=0$ alors $\tilde{\phi}(s)=\sup\{t\in \mathbb{R}_+\mid \phi(t)\leq0\}=\sup\{t\in\mathbb{R}_+\mid \phi(t)=0\}=\sup\{t\in \mathbb{R}_+\mid t=0\}=0$
Le problème est que si je suppose que $\tilde{\phi}(s)=0$ ce la veut dire que
$
\sup\{t\in\mathbb{R}_+\mid \phi(t)\leq s\}=0.
$ Je ne sais pas comment continuer.
L’hypothèse 5 n'a aucun sens puisque $\phi$ est définie sur $\R^+$
Un contre exemple: prendre $\phi(t)=t+1,\forall t>0, \phi(0)=0$ et $s=1$, tu as bien $\tilde{\phi}(s)=0$ pourtant $s\neq 0$
L'autre implication est correcte, il suffit d'utiliser la condition de continuité en 0 de phi. @Topotopo peux tu nous donner le réel énoncé de l'exercice, pourquoi toutes ces hypothèses...
Dans cette réponse, j'ai (presque...) établi que, si \(\tilde\phi(s)=0\), alors \(\phi\) est minorée par \(s\), donc répondu à la question (qui était inconnue à cette date).
La preuve de gb que je viens de comprendre ce matin est parfaite
@Said Fubini
1-Il y a un point qui m’échappe, pourquoi la continuité à droite suffit pour voir que ton ensemble est un ouvert de $\R^+$
2- Quand tu dis ouvert de $\R^+$, c'est au sens d'un ouvert de $\R$ inclus dans $\R^+$ ou bien au sens de la topologie induite de $\R$ sur $\R^+$?
@ gebrane :oui $\{r\in \mathbb{R}_+, \phi(r)< s/2\}$ est un de ouvert $ \mathbb{R}_+$qui contient 0 pour la topologie induite .
car $\phi $ est continue.
L'objectif est de montrer que $\{r\in \mathbb{R}_+, \phi(r)< s/2\}$ contient $[0,\eta]$ pour un $\eta >0$ pour trouver la contradiction
sinon on peut le voir autrement sans passer par la topologie induite en prolongenat $\phi$ par $0$ sur $\mathbb{R}_-$
Le $\phi$ n'est pas supposé continu sur $\R^+$! (il est continu seulement à droite sur $\R^+$)
gb a réussi une preuve en supposant uniquement qu'il est continu à droite en 0.
Réponses
Quelle quantification porte sur \(s\) ?
\[\exists s\in[0,+\infty[,\quad \sup\{r\in \mathbb{R}_+, \phi(r)\leq s\}=0\]
ou
\[\forall s\in[0,+\infty[,\quad \sup\{r\in \mathbb{R}_+, \phi(r)\leq s\}=0 \text{ ?}\]
\[x>0 \implies x\notin\lbrace r\in\mathbf{R}_+,\phi(r) \leqslant s \rbrace \implies \phi(x)>s.\]
Encore faudrait-il savoir quel est le résultat que l'on veut établir ; pour l'instant l'énoncé ne fournit que des hypothèses, sans poser de question.
1) non décroissante, continue à droite
2) $\phi(t)=0$ si, et seulement si $t=0$
3) $\phi(t)\to+\infty$ lorsque $t\to+\infty$
4) $\phi(t)>0$ lorsque $t>0$
5) $\phi$ est impaire.
On définit $\tilde{\phi}(s)$ par $\quad
\tilde{\phi}(s)=\sup\{t\in \mathbb{R}_+\mid \phi(t)\leq s\}
$
Le but est de montrer que $$\tilde{\phi}(s)=0\Longleftrightarrow s=0$$
Si je suppose que $s=0$ alors $\tilde{\phi}(s)=\sup\{t\in \mathbb{R}_+\mid \phi(t)\leq0\}=\sup\{t\in\mathbb{R}_+\mid \phi(t)=0\}=\sup\{t\in \mathbb{R}_+\mid t=0\}=0$
Le problème est que si je suppose que $\tilde{\phi}(s)=0$ ce la veut dire que
$
\sup\{t\in\mathbb{R}_+\mid \phi(t)\leq s\}=0.
$
Je ne sais pas comment continuer.
Un contre exemple: prendre $\phi(t)=t+1,\forall t>0, \phi(0)=0$ et $s=1$, tu as bien $\tilde{\phi}(s)=0$ pourtant $s\neq 0$
Le problème est que l'implication (s=0 implique...)est f
ausse.
Edit:incorrect car phi est supposée strictement positive
Ton contre exemple ne vérifie pas les hypothèses.
Cette implication est probablement correcte
@Topotopo peux tu nous donner le réel énoncé de l'exercice, pourquoi toutes ces hypothèses...
quelle hypothèse? et pourquoi tu dis que l'implication est fausse dans ce message http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1576736,1576868#msg-1576868
@phare je ne vois pas non plus pourquoi l'implication est fausse ?
mais l'implication de topo est juste car $\phi(0)=0$
Oui il y'a en effet que phi est strictement positive
donc l'implication est correcte.
Je corrige merci.
Non pas encore.
je m'alite tout de suite
il suffit de considérer l'ouvert $\{r\in \mathbb{R}_+, \phi(r)< s/2\}$ de $ \mathbb{R}_+$qui contient 0 pour trouver une contradiction
@Said Fubini
1-Il y a un point qui m’échappe, pourquoi la continuité à droite suffit pour voir que ton ensemble est un ouvert de $\R^+$
2- Quand tu dis ouvert de $\R^+$, c'est au sens d'un ouvert de $\R$ inclus dans $\R^+$ ou bien au sens de la topologie induite de $\R$ sur $\R^+$?
car $\phi $ est continue.
L'objectif est de montrer que $\{r\in \mathbb{R}_+, \phi(r)< s/2\}$ contient $[0,\eta]$ pour un $\eta >0$ pour trouver la contradiction
sinon on peut le voir autrement sans passer par la topologie induite en prolongenat $\phi$ par $0$ sur $\mathbb{R}_-$
Le $\phi$ n'est pas supposé continu sur $\R^+$! (il est continu seulement à droite sur $\R^+$)
gb a réussi une preuve en supposant uniquement qu'il est continu à droite en 0.