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$\sup\{r\in\mathbb{R}\mid\phi(r)\leq s\}=0$ ?

Envoyé par Topotopo 
$\sup\{r\in\mathbb{R}\mid\phi(r)\leq s\}=0$ ?
il y a huit jours
Bonjour, s'il vous plaît

J'ai une fonction $\phi:[0,+\infty[\to[0,+\infty[$ continue, que peut-on déduire du fait que pour $s\in [0,+\infty[$ $$
\sup\{r\in \mathbb{R}_+\mid \phi(r)\leq s\}=0
$$ Merci.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a huit jours et a été effectuée par AD.
gb
Re: $\sup\{r\in \mathbb{R}, \phi(r)\leq s\}=0?$
il y a huit jours
avatar
Bonjour,

Quelle quantification porte sur \(s\) ?
Re: $\sup\{r\in \mathbb{R}, \phi(r)\leq s\}=0?$
il y a huit jours
je n'ai pas compris votre question Mr gb.
gb
Re: $\sup\{r\in \mathbb{R}, \phi(r)\leq s\}=0?$
il y a huit jours
avatar
La propriété satisfaite par \(\phi\) est elle :
\[\exists s\in[0,+\infty[,\quad \sup\{r\in \mathbb{R}_+, \phi(r)\leq s\}=0\]
ou
\[\forall s\in[0,+\infty[,\quad \sup\{r\in \mathbb{R}_+, \phi(r)\leq s\}=0 \text{ ?}\]
Re: $\sup\{r\in \mathbb{R}, \phi(r)\leq s\}=0?$
il y a huit jours
il est dit " soit $s\in \mathbb{R}_+$, tel que $\sup\{r\in \mathbb{R}_+, \phi(r)\leq s\}=0$
gb
Re: $\sup\{r\in \mathbb{R}, \phi(r)\leq s\}=0?$
il y a huit jours
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Tout ce que je vois à dire est:
\[x>0 \implies x\notin\lbrace r\in\mathbf{R}_+,\phi(r) \leqslant s \rbrace \implies \phi(x)>s.\]
Re: $\sup\{r\in \mathbb{R}, \phi(r)\leq s\}=0?$
il y a huit jours
On peut travailler avec des suites ? pour utiliser la continuité de $\phi$ ?
gb
Re: $\sup\{r\in \mathbb{R}, \phi(r)\leq s\}=0?$
il y a huit jours
avatar
Il est toujours possible de travailler avec des suites pour utiliser la continuité d'une fonction.
Encore faudrait-il savoir quel est le résultat que l'on veut établir ; pour l'instant l'énoncé ne fournit que des hypothèses, sans poser de question.
Re: $\sup\{r\in \mathbb{R}, \phi(r)\leq s\}=0?$
il y a huit jours
avatar
La question n'est pas claire, si je prends $\phi(x)=x$ alors $\sup\{r\in \mathbb{R}_+, \phi(r)\leq s\}=s$ donc le seul cas où ce sup est égale à 0 c'est lorsque $s=0$

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[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]
Re: $\sup\{r\in\mathbb{R}\mid\phi(r)\leq s\}=0$ ?
il y a huit jours
J'ai une fonction $\phi:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+$
1) non décroissante, continue à droite
2) $\phi(t)=0$ si, et seulement si $t=0$
3) $\phi(t)\to+\infty$ lorsque $t\to+\infty$
4) $\phi(t)>0$ lorsque $t>0$
5) $\phi$ est impaire.
On définit $\tilde{\phi}(s)$ par $\quad
\tilde{\phi}(s)=\sup\{t\in \mathbb{R}_+\mid \phi(t)\leq s\}
$
Le but est de montrer que $$\tilde{\phi}(s)=0\Longleftrightarrow s=0$$
Si je suppose que $s=0$ alors $\tilde{\phi}(s)=\sup\{t\in \mathbb{R}_+\mid \phi(t)\leq0\}=\sup\{t\in\mathbb{R}_+\mid \phi(t)=0\}=\sup\{t\in \mathbb{R}_+\mid t=0\}=0$

Le problème est que si je suppose que $\tilde{\phi}(s)=0$ ce la veut dire que
$
\sup\{t\in\mathbb{R}_+\mid \phi(t)\leq s\}=0.
$
Je ne sais pas comment continuer.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a huit jours et a été effectuée par AD.
Re: $\sup\{r\in\mathbb{R}\mid\phi(r)\leq s\}=0$ ?
il y a huit jours
avatar
L’hypothèse 5 n'a aucun sens puisque $\phi$ est définie sur $\R^+$
Un contre exemple: prendre $\phi(t)=t+1,\forall t>0, \phi(0)=0$ et $s=1$, tu as bien $\tilde{\phi}(s)=0$ pourtant $s\neq 0$

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[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]
Re: $\sup\{r\in\mathbb{R}\mid\phi(r)\leq s\}=0$ ?
il y a huit jours
avatar
@Topotopo
Le problème est que l'implication (s=0 implique...)est f
ausse.

Edit:incorrect car phi est supposée strictement positive



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit jours et a été effectuée par Phare.
Re: $\sup\{r\in\mathbb{R}\mid\phi(r)\leq s\}=0$ ?
il y a huit jours
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@Gebrane
Ton contre exemple ne vérifie pas les hypothèses.
Cette implication est probablement correcte
Re: $\sup\{r\in\mathbb{R}\mid\phi(r)\leq s\}=0$ ?
il y a huit jours
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L'autre implication est correcte, il suffit d'utiliser la condition de continuité en 0 de phi.
@Topotopo peux tu nous donner le réel énoncé de l'exercice, pourquoi toutes ces hypothèses...
Re: $\sup\{r\in\mathbb{R}\mid\phi(r)\leq s\}=0$ ?
il y a huit jours
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@phare
quelle hypothèse? et pourquoi tu dis que l'implication est fausse dans ce message [www.les-mathematiques.net]

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[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]
0ka
Re: $\sup\{r\in\mathbb{R}\mid\phi(r)\leq s\}=0$ ?
il y a huit jours
L'hypothèse "continue à droite"

@phare je ne vois pas non plus pourquoi l'implication est fausse ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit jours et a été effectuée par AD.
Re: $\sup\{r\in\mathbb{R}\mid\phi(r)\leq s\}=0$ ?
il y a huit jours
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ah oui j'ai oublié la continuité à droite en 0
mais l'implication de topo est juste car $\phi(0)=0$

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[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]
Re: $\sup\{r\in\mathbb{R}\mid\phi(r)\leq s\}=0$ ?
il y a huit jours
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@Gebrane et Oka
Oui il y'a en effet que phi est strictement positive
donc l'implication est correcte.
Je corrige merci.
Re: $\sup\{r\in\mathbb{R}\mid\phi(r)\leq s\}=0$ ?
il y a huit jours
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Un contre exemple : prendre $\phi(t)=0 $ si $0\leq t<1$ et $\phi(t)=t$ si $t\geq 1$ et $s=\frac 12$

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[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]
Re: $\sup\{r\in\mathbb{R}\mid\phi(r)\leq s\}=0$ ?
il y a huit jours
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@Gebrane
Non pas encore.
Re: $\sup\{r\in\mathbb{R}\mid\phi(r)\leq s\}=0$ ?
il y a huit jours
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Pourquoi ? je suis à moitié endormi grinning smiley

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[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]
gb
Re: $\sup\{r\in\mathbb{R}\mid\phi(r)\leq s\}=0$ ?
il y a huit jours
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@ gebrane : propriété 2
Re: $\sup\{r\in\mathbb{R}\mid\phi(r)\leq s\}=0$ ?
il y a huit jours
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Ok merci
je m'alite tout de suite

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[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]
gb
Re: $\sup\{r\in\mathbb{R}\mid\phi(r)\leq s\}=0$ ?
il y a huit jours
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Dans cette réponse, j'ai (presque...) établi que, si \(\tilde\phi(s)=0\), alors \(\phi\) est minorée par \(s\), donc répondu à la question (qui était inconnue à cette date).
Re: $\sup\{r\in \mathbb{R}, \phi(r)\leq s\}=0?$
il y a sept jours
soit $s\in \mathbb{R}_+^*$, tel que $\sup\{r\in \mathbb{R}_+, \phi(r)\leq s\}=0$

il suffit de considérer l'ouvert $\{r\in \mathbb{R}_+, \phi(r)< s/2\}$ de $ \mathbb{R}_+$qui contient 0 pour trouver une contradiction



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept jours et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Said Fubini.
Re: $\sup\{r\in \mathbb{R}, \phi(r)\leq s\}=0?$
il y a sept jours
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La preuve de gb que je viens de comprendre ce matin est parfaite

@Said Fubini
1-Il y a un point qui m’échappe, pourquoi la continuité à droite suffit pour voir que ton ensemble est un ouvert de $\R^+$
2- Quand tu dis ouvert de $\R^+$, c'est au sens d'un ouvert de $\R$ inclus dans $\R^+$ ou bien au sens de la topologie induite de $\R$ sur $\R^+$?

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[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]
Re: $\sup\{r\in \mathbb{R}, \phi(r)\leq s\}=0?$
il y a six jours
@ gebrane :oui $\{r\in \mathbb{R}_+, \phi(r)< s/2\}$ est un de ouvert $ \mathbb{R}_+$qui contient 0 pour la topologie induite .
car $\phi $ est continue.
L'objectif est de montrer que $\{r\in \mathbb{R}_+, \phi(r)< s/2\}$ contient $[0,\eta]$ pour un $\eta >0$ pour trouver la contradiction

sinon on peut le voir autrement sans passer par la topologie induite en prolongenat $\phi$ par $0$ sur $\mathbb{R}_-$
Re: $\sup\{r\in \mathbb{R}, \phi(r)\leq s\}=0?$
il y a six jours
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@Said

Le $\phi$ n'est pas supposé continu sur $\R^+$! (il est continu seulement à droite sur $\R^+$)
gb a réussi une preuve en supposant uniquement qu'il est continu à droite en 0.

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[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six jours et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: $\sup\{r\in \mathbb{R}, \phi(r)\leq s\}=0?$
il y a quatre jours
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