Équation différentielle

Un bonus en vidéo

Faudrait peut-être rendre ça rigoureux façon 2017...

@ Gebrane
Je n'ai jamais eu ce genre de chose au programme, et de toutes façons je n'ai jamais mis zéro. Parlons plutôt maths proprement dites.

@Gebrane
Tu as tout à fait raison. Il me semble que ce genre d'énoncé n'apparaît plus dans les livres ou les annales depuis au bas mot quarante ans.
À mon avis, on désigne par $y$ une fonction inconnue de la variable $x$ et cet énoncé signifie : $ x+y+(y-x) \frac {dy}{dx}=0$.
Gb a réactivé l'antique zoologie des équations différentielles, mais il faudrait une rédaction rigoureuse selon les canons de notre époque.
J'ai essayé de faire ça dans le fil : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1571918,1571954
Il faudrait le faire ici.
Bonne journée.
Fr. Ch.

Essayons d'être rigoureux, ce qui risque d'être lourd vu que les courbes intégrales sont des spirales logarithmmiques...

Nous recherchons des fonctions \(f\) dérivables sur un intervalle \(I\) et telles que :
\[\forall x \in I, \quad x+f(x)+(f(x)-x)f'(x) = 0.\]

Je commence par remarquer que, s'il existe un point \(x\) de \(I\) en lequel : \(f(x) = x\), alors :
\[x+f(x)+(f(x)-x)f'(x) = 0 \implies f(x) = -x\]
dont on déduit que \(f(x)=x=0\).

On commence donc par étudier le cas où l'intervalle \(I\) ne contient pas l'origine, et on étudiera dans un deuxième temps le problème du raccord des solutions obtenues.

Désormais : \(0\notin I\).

La fonction \(g\colon x \mapsto f(x)/x\) est parfaitement définie, continue, dérivable, ... et, comme il n'existe pas de point \(x\) de \(I\) en lequel ; \(f(x)=x\), la fonction \(g\) ne prend pas la valeur 1, et la fonction \(g-1\) est de signe constant.

satisfait:
\[\forall x\in I, \quad x+xg(x)+(xg(x)-x)(g(x)+xg'(x)) = 0 \iff \frac 1x = \frac{1-g(x)}{1+g^2(x)}g'(x).\]
dont on déduit, via un petit calcul de primitive:
\begin{gather*}
\exists C\in\mathbf{R},\ \forall x\in I,\quad \ln\lvert x \rvert = \arctan(g(x)) - \frac12\ln(1+g^2(x)) + C\\
\exists k\in\mathbf{R}^*,\ \forall x\in I,\quad x = k \frac{\exp(\arctan(g(x)))}{\sqrt{1+g^2(x)}}
\end{gather*}
où le signe de \(k\) est celui des éléments de l'intervalle \(I\).

Digression

On est donc amené à étudier la fonction \(\phi\colon t\mapsto\dfrac{\exp(\arctan t)}{\sqrt{1+t^2}}\), gentiment définie sur \(\mathbf{R}\), et à valeurs strictement positives. Les calculs precédents fournissent le calcul de la dérivée logarithmique de \(\phi\):
\[\forall t\in\mathbf{R},\quad \frac{\phi'(t)}{\phi(t)} = \frac{1-t}{1+t^2}\]
d'où le tableau des variations de \(\phi\):
\[\begin{array}{c|ccccc}
t&-\infty&&1&&+\infty\\
\hline
\phi'(t)&&+&0&-&\\
\hline
\phi(t)&0&\nearrow&a&\searrow&0
\end{array}\]
où: \(a = \dfrac{e^{\pi/4}\sqrt2}{2}\).
Les restrictions de \(\phi\) à \(]-\infty,1[\) et à \(]1,+\infty[\) sont deux bijections, dont les bijections
réciproques sont respectivement \(\psi_1\) définie de \(]0,a[\) dans \(]-\infty,1[\) et \(\psi_1\) définie de \(]0,a[\) dans \(]1,+\infty[\).

Une remarque utile pour la suite :
\begin{align*}\phi(t)&\mathop{\sim}\limits_{t\to-\infty}-\frac{e^{-\pi/2}}t & \phi(t)&\mathop{\sim}\limits_{t\to+\infty}\frac{e^{\pi/2}}t\end{align*}

Retour à l'équation différentielle

Commençons par rappeler notre acquis.

Si \(f\) est une solution sur l'intervalle \(I\), alors la fonction \(g-1\) est de signe constant et:
\[\exists k\in\mathbf{R}^*,\ \forall x\in I,\quad x = k \phi(g(x)).\]

Il s'ensuit :

— que \(x/k\) apparient à \(]0,a[\), donc que les solutions maximales de l'équation différentielles sont définies sur l'intervalle \(]ka,0[\) si \(k\) est négatif, ou \(]0,ka[\) si \(k\) est positif; — que les solutions \(f\) sont données par: \(f(x)=x\psi_i(x/k)\), où \(i=1\) pour les solutions avec \(g-1\) négative, et \(i=2\) pour les solutions avec \(g-1\) positive.

Pour une solution maximale, \(\phi(g(x))\) est de limite nulle en 0, donc \(g(x)\) est de limite infinie, avec le signe de \(g-1\).

Petites propriétés supplémentaires intéressantes

Pour une solution de la forme \(x\mapsto x\psi_1(kx)\):
\[g-1\leq0 \implies \lim_{x\to0}g(x)=-\infty \implies x = k\phi(g(x)) \mathop{\sim}\limits_0 -k\frac{e^{-\pi/2}}{g(x)} \implies f(x) = xg(x) \mathop{\sim}\limits_0 -ke^{-\pi/2}\]
tandis que pour une solution de la forme \(x\mapsto x\psi_2(kx)\):
\[g-1\geq0 \implies \lim_{x\to0}g(x)=+\infty \implies x = k\phi(g(x)) \mathop{\sim}\limits_0 k\frac{e^{\pi/2}}{g(x)} \implies f(x) = xg(x) \mathop{\sim}\limits_0 ke^{\pi/2}\]
donc \(f\) a, dans tous les cas, une limite finie non nulle à l'origine, du signe de \(k\) dans le deuxième cas, du signe contraire dans le premier.

Raccord des solutions à l'origine

Pour une solution \(f\) définie sur un intervalle \(I\) contenant l'origine:
\[\exists(k_-,k_+)\in]-\infty,0[\times, \exists(i,j)\in\lbrace1,2\rbrace^2,\quad f(x)=\begin{cases} x\psi_i(x/k_-) & \text{si } x\in ]k_-a,0[ \\ x\psi_j(x/k_+) & \text{si } x\in 0,k_+a[ \end{cases}\]
et on sait calculer la valeur de f(0) comme limite à droite et comme limite à gauche de \(f\) en 0.

Cette valeur est non nulle et, par rapport à \(k_+\) et \(k_-\), est du signe de l'un et du signe contraire de l'autre, ce qui impose de prendre les indices \(i\) et \(j\) distincts, d'où deux familles de fonctions à envisager suivant le signe de \(f(0)\)

Fonctions avec \(f(0)<0\).

\[f(x)=\begin{cases} x\psi_2(x/k_-) & \text{si } x\in ]k_-a,0[ \\ x\psi_1(x/k_+) & \text{si } x\in ]0,k_+a[ \end{cases}\]
ce qui fournit:
\begin{align*} f(0-) &= k_-e^{\pi/2} & f(0+) &= -k_+e^{-\pi/2} \end{align*}
et la continuité en 0 impose dans ce cas: \(k_- = -k_+e^{-\pi}\).

Fonctions avec \(f(0)>0\).
\[f(x)=\begin{cases} x\psi_1(x/k_-) & \text{si } x\in ]k_-a,0[ \\ x\psi_2(x/k_+) & \text{si } x\in k_]0,k_+a[ \end{cases}\]
ce qui fournit:
\begin{align*} f(0-) &= -k_-e^{-\pi/2} & f(0+) &= k_+e^{\pi/2} \end{align*}
et la continuité en 0 impose dans ce cas: \(k_- = -k_+e^{\pi}\).

Les fonctions ainsi définies satisfont, pour tout \(x\) de l'intervalle \(I\) :
\[\left. \begin{array}{c} f(x) \neq x \\ x+f(x)+(f(x)-x)f'(x) = 0 \end{array} \right\rbrace \implies f'(x) = \frac{x+f(x)}{x-f(x)}\]
et, du fait que \(f(0)\) est non nul: \(\lim_{x\to0}=-1\). On déduit du théorème de Cauchy que la fonction \(f\) est dérivable en 0 avec : \(f'(0)=-1\), et est par suite solution de l'équation différentielle.

Bilan

Les solutions maximales de l'équation différentielles sont toutes définies sur un intervalle ouvert contenant 0. Elles constituent deux familles, indexées par un nombre réel strictement positif \(k\) et sont respectivement définies par:
\begin{align*}
f_k(x)&=\begin{cases} x\psi_2(-xe^{\pi}/k) & \text{si } x\in ]-ke^{-\pi}a,0[ \\ -ke^{-\pi/2} & \text{si } x=0 \\ x\psi_1(x/k) & \text{si } x\in ]0,ka[ \end{cases} &
f_k(x)&=\begin{cases} x\psi_1(-xe^{-\pi}/k) & \text{si } x\in ]-ke^{\pi}a,0[ \\ ke^{\pi/2} & \text{si } x=0 \\ x\psi_2(x/k) & \text{si } x\in k]0,ka[ \end{cases}
\end{align*}
avec (rappel) : \(a = \dfrac{e^{\pi/4}\sqrt2}{2}\).

Merci gb pour http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1576892,1577242#msg-1577242