convergence série

raboteux · December 2017

Bonsoir,

Je bute sur la compréhension du corrigé de cet exercice :

extrait

En fait ce qui me pose problème c'est la conclusion avec l'allusion à la série harmonique qui diverge utilisée pour prouver que Sn diverge. Après tous les calculs, on obtient une minoration de S2^(n+1) -S2^n, il semble que c'est le critère de cauchy que l'auteur utilise non ?
Mais dans cas, le critère dit que ISm-SnI<epsilon pour que S converge, or dans l'exercice la suite 1/n à droite de l'inégalité tend bien vers 0 pour n infini mais effectivement ce n'est pas une majoration mais une minoration donc je ne suis pas non plus en train de me convaincre que S est convergente mais je en comprend pas l'argumentaire utilisée en conclusion pour dire que S diverge.
En effet on a S2^(n+1) -S2^n qui est la différence de deux sommes (donc une somme) qui est plus grand que 1/n qui tend bien vers 0 pour n grand, donc dans l'hypothèse où S convergerait vers une limite finie L on pourrait dire que S2^(n+1) -S2^n=L-L=0.
Pour tirer une conclusion sur la différence entre S2^(n+1) -S2^n, l'auteur lui regarde le comportement de la série de terme général 1/n. Je trouve pas cela si clair.

Si vous pouvez m'expliquer le cheminement utilisé par l'auteur, j'avoue que j'ai la tête embrouillée (fatigue du soir)..

Merci.

gb · December 2017

Bonjour,

On étudie une série à termes positifs, donc la suite des sommes partielles ${(S_n)}_{n\geqslant2}$ est croissante.

De ce fait elle a même nature que ses suites extraites, et on se contente d'étudier la sous-suite ${(S_{2^n})}_{n\geqslant1}$.

Cette sous-suite est en fait la suite des sommes partielles de la série de terme général : $v_n = S_{2^{n+1}}-S_{2^n}$, que l'on minore par :
\[w_n = \frac{2^n(2^n+1)}{2^{n+3}(n+1)\ln2} \sim \frac1{8\ln2}\,\frac1n.\]

On invoque la série harmonique simplement pour déduire à la divergence des séries $\sum w_n$ et $\sum v_n$, puis des suites ${(S_{2^n})}_{n\geqslant1}$ et ${(S_n)}_{n\geqslant2}$.

Chaurien · December 2017

Il y a plusieurs démonstrations de la divergence de la série harmonique. La plus simple est sans doute celle-ci.
Soit $\displaystyle H_{n}=\overset{n}{\underset{k=1}{\sum }}\frac{1}{k}$.
Alors : $H_{2n}-H_{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}\geq n\cdot \frac{1}{2n}=\frac{1}{2}$.
En conséquence : $H_{2^{m}}-H_{2^{m-1}}\geq \frac{1}{2}$. Et par suite : $\displaystyle H_{2^{m}}-H_{1}=\overset{m}{\underset{j=1}{\sum }}(H_{2^{j}}-H_{2^{j-1}})\geq m\cdot \frac{1}{2}=\frac{m}{2}$.
Soit enfin : $H_{2^{m}}\geq \frac{m}{2}+1$.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

raboteux · December 2017

Merci pour cette réponse fort intéressante.

Ce qui m'a fait croire que le corrigé se sert de Cauchy pour prouver la divergence de la série (1/n²lnn) c'est la démonstration ci dessous dans cet extrait de cours :

extrait

Dans cet extrait de cours, le critère de Cauchy est utilisé pour prouver que la série harmonique ne peux pas converger.

Dans notre exercice, j'avais l'impression que le correcteur suivait la même démarche pour notre série (1/n²lnn), en posant n=2^(n+1) et m=2^n (notation du critère). Le parallèle est il faux?

gb · December 2017

Le parallèle est effectivement faux.

Pour prouver la divergence de la série harmonique par le critère de Cauchy, on essaie d'obtenir une inégalité de la forme
\[\lvert S_p-S_q \rvert \geqslant \epsilon\]
qui comporte une différence et un nombr réel $\epsilon$ à déterminer puisqu'il est régi par un quantificateur $\exists$ dans la négation du critère de Cauchy. Le fait que le calcul est pratique lorsque l'on choisit $p=2q$ et fournit $\epsilon =1/2$ est accessoire.

Dans l'exercice, on cherche une inégalité de la forme $v_n \geqslant w_n$ entre deux termes de séries. Les conditions d'utilisation sont :
1. $w_n$, qui dépend ici de $n$ contrairement à $\epsilon$ dans le critère de Cauchy, doit être suffisamment simple pour que l'on en ait facilement un équivalent qui permette de conclure sur la série $\sum w_n$.
2. $v_n$ doit permettre de récupérer la suite qui nous intéresse (ici la suite extraite des $S_{2^n}$, mais c'est accessoire), et on cette récupération est en général le fait d'un télescopage.

Chaurien · December 2017

De mon avis, mieux vaut réserver le critère de Cauchy aux situations où il est indispensable. D'accord, avec un marteau-pilon on peut écraser une noix, mais il n'est pas nécessaire de l'employer pour cela.

gebrane · December 2017

Je suis d'accord avec Chaurien, écraser une noix avec un marteau-pilon , il ne restera que poussière.

Chaurien · December 2017

J'en profite pour donner une curieuse démonstration de la divergence de la série harmonique.
Vous connaissez le problème du surplomb maximum d'un empilement de briques de longueur $2$. Si $x_n$ est l'abscisse du centre de gravité de la $n$-ème brique, l'abscisse du centre de gravité de l'empilement des $n$ briques est $\frac 1n(x_1+x_2+...+x_n)$. Pour que la pile soit en équilibre, l'abscisse du centre de gravité de la brique suivante (mise dessous) doit être au maximum : $x_{n+1}=\frac 1n(x_1+x_2+...+x_n)+1$. D'où : $x_{n+1}-x_n= \frac 1n$, suite croissante. D'après le théorème de Cesàro, cette suite tend vers $+\infty$. Et si $x_1=0$ alors $x_n=H_{n-1}$.
Bonne journée.
Fr. Ch.
07/12/2017

convergence série

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