convergence des séries

iboudraren
iboudraren
dans Analyse
Bonsoir, j'ai une question sur la nature de la série de terme général: $U_n=(n+\frac{1}{2})\ln(1+\frac{1}{n})-1$
Merci

Réponses

  • gb
    gb
    Bonjour,

    Commence par effectuer un développement limité du logarithme pour trouver un équivalent simple de \(U_n\).
  • Phare
    Phare
    Qu'a tu fais?
    Tu n'as jamais vu ce genre de questions dans ton cours?
    Connais tu des exemples dans le même genre?
  • iboudraren
    iboudraren
    Merci pour les réponses, si je fais un DL à l'ordre 1 je trouve une série divergente (u_n équivalente à 1/n) et si je fais un DL à l'ordre 2 ou 3 je trouve une série convergente. Donc comment choisir l'ordre du DL?

    Merci
  • Chaurien
    Chaurien
    Ceci prouve simplement que tu t'es trompé dans tes développements limités. Reprends plus soigneusement.
  • iboudraren
    iboudraren
    à l'ordre 1 j'ai trouvé:U_n équivalent à $(n+\frac{1}{2})(\frac{1}{n}+o(\frac{1}{n}))-1=\frac{1}{2n}+o(\frac{1}{n})$ diverge
    à l'ordre 2 j'ai trouvé U_n équivalent à $(n+\frac{1}{2})(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+o(\frac{1}{n^2}))-1=\frac{-1}{4n^2}+o(\frac{1}{n^2})$ converge
    j'ai pas trouvé l'erreur?
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Tes calculs sur les petits o (je suppose qu'il s'agit de petit o) sont faux.
  • Chaurien
    Chaurien
    $n~o(\frac{1}{n})=o(1)$
    $n~o(\frac{1}{n^2})=o(\frac{1}{n})$
  • iboudraren
    iboudraren
    Merci pour la réponse . c'est quoi le role de $o(1)$ dans le DL?
  • gb
    gb
    De contrôler la précision du développement, c'est-à-dire de savoir si les termes que l'on écrit explicitement sont à conserver ou à négliger.
  • iboudraren
    iboudraren
    si j'ai bien compris la série $\sum o(1)$ est divergente ce qui nous empeche d'écrire le DL de notre $U_n$ à l'ordre 1
  • gb
    gb
    C'est bien pire, la série \(\sum o(1)\) est de nature inconnue, cela peut aussi bien être \(\sum(1/n)\) que \(\sum(1/n^2)\)... elle est donc absolument inutilisable.
  • iboudraren
    iboudraren
    ma question: es ce que $o(1)$ tend vers zéro?
  • gb
    gb
    Oui, c'est même la définition d'un \(o(1)\), mais dans le cadre des séries, le fait qu'un terme soit de limite \(0\) est sans intérêt, ce qui importe est de savoir comment le terme tend vers \(0\), et c'est un renseignement qu'un \(o(1)\) est incapable de fournir.
  • Zimbabou
    Zimbabou
    si je comprends bien il faut aller à l'ordre 3 pour un équivalent à 1/12n² ?
  • gb
    gb
    Oui, puisque c'est le premier terme non nul du développement limité, c'est lui qui fournit l'équivalent qui permet de conclure.
  • iboudraren
    iboudraren
    pourquoi à l'ordre 3 mais pas à l'ordre 2 par exemple?
  • gb
    gb
    Je ne comprends pas la question...
  • iboudraren
    iboudraren
    Si on fait le DL à l'ordre 2, on aura
    $-1/4n^2+o(1/n)+1/2o(1/n^2)$
    Es ce qu'on peut conclure que la série converge?
  • gb
    gb
    Le principe d'un développement qui contient \(o(1/n^p)\), c'est que les termes en \(1/n^q\) avec \(q>p\) sont inutiles.

    Avec un développement qui contient \(o(1/n)\), tu peux négliger les termes \(1/(4n^2)\) et \(o(1/n^2)\) ; ton développement se réduit en fait à \(o(1/n)\) et ne fournit que peu de renseignements sur \(u_n\), en tout cas cela ne permet pas de connaître la nature de la série.
  • iboudraren
    iboudraren
    Merci beaucoup.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 26

Lirone93LucasMilasVassilliabiguine_equation +21 Invités