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convergence des séries

Envoyé par iboudraren 
convergence des séries
il y a six jours
Bonsoir, j'ai une question sur la nature de la série de terme général: $U_n=(n+\frac{1}{2})\ln(1+\frac{1}{n})-1$
Merci
gb
Re: convergence des séries
il y a six jours
avatar
Bonjour,

Commence par effectuer un développement limité du logarithme pour trouver un équivalent simple de \(U_n\).
Re: convergence des séries
il y a six jours
avatar
Qu'a tu fais?
Tu n'as jamais vu ce genre de questions dans ton cours?
Connais tu des exemples dans le même genre?
Re: convergence des séries
il y a six jours
Merci pour les réponses, si je fais un DL à l'ordre 1 je trouve une série divergente (u_n équivalente à 1/n) et si je fais un DL à l'ordre 2 ou 3 je trouve une série convergente. Donc comment choisir l'ordre du DL?

Merci
Re: convergence des séries
il y a six jours
Ceci prouve simplement que tu t'es trompé dans tes développements limités. Reprends plus soigneusement.
Re: convergence des séries
il y a six jours
à l'ordre 1 j'ai trouvé:U_n équivalent à $(n+\frac{1}{2})(\frac{1}{n}+o(\frac{1}{n}))-1=\frac{1}{2n}+o(\frac{1}{n})$ diverge
à l'ordre 2 j'ai trouvé U_n équivalent à $(n+\frac{1}{2})(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+o(\frac{1}{n^2}))-1=\frac{-1}{4n^2}+o(\frac{1}{n^2})$ converge
j'ai pas trouvé l'erreur?
Re: convergence des séries
il y a six jours
avatar
Tes calculs sur les petits o (je suppose qu'il s'agit de petit o) sont faux.

Une théorie nouvelle ne triomphe jamais. Ses détracteurs finissent par mourir.
Re: convergence des séries
il y a six jours
$n~o(\frac{1}{n})=o(1)$
$n~o(\frac{1}{n^2})=o(\frac{1}{n})$
Re: convergence des séries
il y a six jours
Merci pour la réponse . c'est quoi le role de $o(1)$ dans le DL?
gb
Re: convergence des séries
il y a six jours
avatar
De contrôler la précision du développement, c'est-à-dire de savoir si les termes que l'on écrit explicitement sont à conserver ou à négliger.
Re: convergence des séries
il y a six jours
si j'ai bien compris la série $\sum o(1)$ est divergente ce qui nous empeche d'écrire le DL de notre $U_n$ à l'ordre 1
gb
Re: convergence des séries
il y a six jours
avatar
C'est bien pire, la série \(\sum o(1)\) est de nature inconnue, cela peut aussi bien être \(\sum(1/n)\) que \(\sum(1/n^2)\)... elle est donc absolument inutilisable.
Re: convergence des séries
il y a six jours
ma question: es ce que $o(1)$ tend vers zéro?
gb
Re: convergence des séries
il y a six jours
avatar
Oui, c'est même la définition d'un \(o(1)\), mais dans le cadre des séries, le fait qu'un terme soit de limite \(0\) est sans intérêt, ce qui importe est de savoir comment le terme tend vers \(0\), et c'est un renseignement qu'un \(o(1)\) est incapable de fournir.
Re: convergence des séries
il y a six jours
si je comprends bien il faut aller à l'ordre 3 pour un équivalent à 1/12n² ?
gb
Re: convergence des séries
il y a six jours
avatar
Oui, puisque c'est le premier terme non nul du développement limité, c'est lui qui fournit l'équivalent qui permet de conclure.
Re: convergence des séries
il y a six jours
pourquoi à l'ordre 3 mais pas à l'ordre 2 par exemple?
gb
Re: convergence des séries
il y a six jours
avatar
Je ne comprends pas la question...
Re: convergence des séries
il y a six jours
Si on fait le DL à l'ordre 2, on aura
$-1/4n^2+o(1/n)+1/2o(1/n^2)$
Es ce qu'on peut conclure que la série converge?
gb
Re: convergence des séries
il y a six jours
avatar
Le principe d'un développement qui contient \(o(1/n^p)\), c'est que les termes en \(1/n^q\) avec \(q>p\) sont inutiles.

Avec un développement qui contient \(o(1/n)\), tu peux négliger les termes \(1/(4n^2)\) et \(o(1/n^2)\) ; ton développement se réduit en fait à \(o(1/n)\) et ne fournit que peu de renseignements sur \(u_n\), en tout cas cela ne permet pas de connaître la nature de la série.
Re: convergence des séries
il y a six jours
Merci beaucoup.
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