Une intégrale

J'ai trouvé une formule mais elle n'est pas très simple. Elle fait intervenir la fonction $\beta$ de Dirichlet: $\beta(n)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^k}{(2k+1)^n}$.

$u_n=\displaystyle \int_{0}^{\tfrac{1}{2}} \dfrac{x^n}{\sin(\pi x)}dx= \sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}(-1)^k\dfrac{n!}{2^n(n-2k-1)!}\dfrac{\beta(2k+2)}{(\pi/2)^{2k+2}}+r_n$ avec $r_n=0$ si $n$ est impair et $r_n=2n!(-1)^{n/2}\left(1-\dfrac1{2^{n+1}}\right)\dfrac{\zeta(n+1)}{\pi^{n+1}}$ si $n$ est pair.

Je l'ai démontrée par la méthode proposée dans le cas $n=2$ par JLT ici.

Edit: le 2 en facteur devant le sigma était en trop.