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Fonction borélienne étagée

Envoyé par Perfectinette 
Fonction borélienne étagée
il y a six jours
Bonjour,

Soit $f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction borélienne, étagée.
Je dois montrer que $f$ est Lebesgue ($\lambda$) intégrable (donc que $f \in L^1([a,b],\lambda)$ et calculer son intégrale.

Je copie également la définition d'une fonction étagée.
On considère l'espace mesuré $(X, \mathcal{T}, \mu)$.
Soit $f : X \rightarrow \mathbb{R}$ étagée. Les assertions suivantes sont équivalentes :
• $f$ est $(\mathcal{T}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$- mesurable et prend un nombre fini de valeurs ;
• Il existe des parties $\mathcal{T}$-mesurables $A_1,A_2,...,A_n$ et des réels $f_1,f_2,...f_n$ tels que $f = \sum_{i=1}^n f_i 1_{A_i}$.

Je sais donc que la fonction de l'énoncé respecte ces conditions.
Et je dois montrer que $f \in L^1([a,b], \lambda)$ donc que $\int_{[a,b]} |f| d\lambda < \infty$.

Je ne vois pas exactement comment montrer qu'une telle fonction est Lebesgue-intégrable malgré les éléments de définition. N'ayant pas vraiment d'informations sur $a$ et sur $b$, je ne sais pas si $f$ est positive ou non, dois-je commencer par séparer $f$ en $f^+ = \max(f,0)$ et $f^- = \max(0,-f)$ et chercher si $\int_{[a,b]} f^+ d \lambda < \infty$ et $\int_{[a,b]} f^- d \lambda < \infty$ ?

C'est pas très rigoureux mais je suis débutante en théorie de la mesure... Je me mélange un peu, quelqu'un pourrait m'aider ? Merci.
Re: Fonction borélienne étagée
il y a six jours
Je reposte mais d'après la définition des fonctions étagées, si $f$ était positive, on aurait $\int_{[a,b]} f d\lambda = \sum_{i=1}^n f_i \lambda(A_i)$.

Sauf qu'ici, on ne sait pas vraiment si elle est positive...



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six jours et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Perfectinette.
Re: Fonction borélienne étagée
il y a six jours
Est-ce que tu donner la définition de Lebesgue intégrable ?
Re: Fonction borélienne étagée
il y a six jours
Bonjour.

Tu peux passer par $f^+$ et $f^-$ ou montrer directement que $|f|$ est étagée positive, mais ce qui compte c'est que tu fasses, au lieu de demander si tu dois faire. Tu en sais assez pour pouvoir essayer au brouillon et voir si tu aboutis ou pas ...

Cordialement.
Re: Fonction borélienne étagée
il y a six jours
Je dois montrer que $\int |f|$ est fini, c'est bien ça ?

Edit : à ModuloP



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six jours et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Perfectinette.
Re: Fonction borélienne étagée
il y a six jours
Je n'étais pas sûre de la démarche à suivre, je vais essayer et je reviendrai.
Re: Fonction borélienne étagée
il y a six jours
On sait que $f$ est mesurable étagée sur $[a,b]$. Donc $f$ prend un nombre fini de valeurs $a_1,...,a_n$ sur des parties mesurables $A_1,...,A_n$.
Ainsi $|f|$ prend les valeurs positives $|a_1|,...,|a_n|$ sur les parties mesurables $A_1,...,A_n$. Donc $|f|$ est étagée positive.

On peut donc écrire (définition d'une fonction étagée positive donnée plus haut) que $|f| = \sum_{i=1}^n |a_i| 1_{A_i}$ et $\int_{[a,b]} |f| d \lambda = \sum_{i=1}^n |a_i| \lambda(A_i)$.

Or la mesure de Lebesgue est finie, on sait qu'on a $\lambda(A_i) < \infty$ et donc $\int_{[a,b]} |f| d \lambda < \infty$.

C'est juste ? Il y a une suite mais j'aimerais être au point là-dessus :)
Re: Fonction borélienne étagée
il y a six jours
Bon par contre, ça ne m'aide pas spécialement à calculer l'intégrale de f tout ça... sad smiley



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six jours et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Fonction borélienne étagée
il y a six jours
Une fois que tu sais qu'elle est intégrable, l'intégrale de $f$ se calcule facilement en calculant les intégrales de ses parties positives et négatives, qui sont étagées.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six jours et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Fonction borélienne étagée
il y a six jours
Ah mais oui ! Merci beaucoup !
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