Fonction borélienne étagée

Bonjour,

Soit $f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction borélienne, étagée.
Je dois montrer que $f$ est Lebesgue ($\lambda$) intégrable (donc que $f \in L^1([a,b],\lambda)$ et calculer son intégrale.

Je copie également la définition d'une fonction étagée.
On considère l'espace mesuré $(X, \mathcal{T}, \mu)$.
Soit $f : X \rightarrow \mathbb{R}$ étagée. Les assertions suivantes sont équivalentes :
• $f$ est $(\mathcal{T}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$- mesurable et prend un nombre fini de valeurs ;
• Il existe des parties $\mathcal{T}$-mesurables $A_1,A_2,...,A_n$ et des réels $f_1,f_2,...f_n$ tels que $f = \sum_{i=1}^n f_i 1_{A_i}$.

Je sais donc que la fonction de l'énoncé respecte ces conditions.
Et je dois montrer que $f \in L^1([a,b], \lambda)$ donc que $\int_{[a,b]} |f| d\lambda < \infty$.

Je ne vois pas exactement comment montrer qu'une telle fonction est Lebesgue-intégrable malgré les éléments de définition. N'ayant pas vraiment d'informations sur $a$ et sur $b$, je ne sais pas si $f$ est positive ou non, dois-je commencer par séparer $f$ en $f^+ = \max(f,0)$ et $f^- = \max(0,-f)$ et chercher si $\int_{[a,b]} f^+ d \lambda < \infty$ et $\int_{[a,b]} f^- d \lambda < \infty$ ?

C'est pas très rigoureux mais je suis débutante en théorie de la mesure... Je me mélange un peu, quelqu'un pourrait m'aider ? Merci.