Fonction borélienne étagée
dans Analyse
Bonjour,
Soit $f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction borélienne, étagée.
Je dois montrer que $f$ est Lebesgue ($\lambda$) intégrable (donc que $f \in L^1([a,b],\lambda)$ et calculer son intégrale.
Je copie également la définition d'une fonction étagée.
On considère l'espace mesuré $(X, \mathcal{T}, \mu)$.
Soit $f : X \rightarrow \mathbb{R}$ étagée. Les assertions suivantes sont équivalentes :
• $f$ est $(\mathcal{T}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$- mesurable et prend un nombre fini de valeurs ;
• Il existe des parties $\mathcal{T}$-mesurables $A_1,A_2,...,A_n$ et des réels $f_1,f_2,...f_n$ tels que $f = \sum_{i=1}^n f_i 1_{A_i}$.
Je sais donc que la fonction de l'énoncé respecte ces conditions.
Et je dois montrer que $f \in L^1([a,b], \lambda)$ donc que $\int_{[a,b]} |f| d\lambda < \infty$.
Je ne vois pas exactement comment montrer qu'une telle fonction est Lebesgue-intégrable malgré les éléments de définition. N'ayant pas vraiment d'informations sur $a$ et sur $b$, je ne sais pas si $f$ est positive ou non, dois-je commencer par séparer $f$ en $f^+ = \max(f,0)$ et $f^- = \max(0,-f)$ et chercher si $\int_{[a,b]} f^+ d \lambda < \infty$ et $\int_{[a,b]} f^- d \lambda < \infty$ ?
C'est pas très rigoureux mais je suis débutante en théorie de la mesure... Je me mélange un peu, quelqu'un pourrait m'aider ? Merci.
Soit $f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction borélienne, étagée.
Je dois montrer que $f$ est Lebesgue ($\lambda$) intégrable (donc que $f \in L^1([a,b],\lambda)$ et calculer son intégrale.
Je copie également la définition d'une fonction étagée.
On considère l'espace mesuré $(X, \mathcal{T}, \mu)$.
Soit $f : X \rightarrow \mathbb{R}$ étagée. Les assertions suivantes sont équivalentes :
• $f$ est $(\mathcal{T}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$- mesurable et prend un nombre fini de valeurs ;
• Il existe des parties $\mathcal{T}$-mesurables $A_1,A_2,...,A_n$ et des réels $f_1,f_2,...f_n$ tels que $f = \sum_{i=1}^n f_i 1_{A_i}$.
Je sais donc que la fonction de l'énoncé respecte ces conditions.
Et je dois montrer que $f \in L^1([a,b], \lambda)$ donc que $\int_{[a,b]} |f| d\lambda < \infty$.
Je ne vois pas exactement comment montrer qu'une telle fonction est Lebesgue-intégrable malgré les éléments de définition. N'ayant pas vraiment d'informations sur $a$ et sur $b$, je ne sais pas si $f$ est positive ou non, dois-je commencer par séparer $f$ en $f^+ = \max(f,0)$ et $f^- = \max(0,-f)$ et chercher si $\int_{[a,b]} f^+ d \lambda < \infty$ et $\int_{[a,b]} f^- d \lambda < \infty$ ?
C'est pas très rigoureux mais je suis débutante en théorie de la mesure... Je me mélange un peu, quelqu'un pourrait m'aider ? Merci.
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Réponses
Sauf qu'ici, on ne sait pas vraiment si elle est positive...
Tu peux passer par $f^+$ et $f^-$ ou montrer directement que $|f|$ est étagée positive, mais ce qui compte c'est que tu fasses, au lieu de demander si tu dois faire. Tu en sais assez pour pouvoir essayer au brouillon et voir si tu aboutis ou pas ...
Cordialement.
Edit : à ModuloP
Ainsi $|f|$ prend les valeurs positives $|a_1|,...,|a_n|$ sur les parties mesurables $A_1,...,A_n$. Donc $|f|$ est étagée positive.
On peut donc écrire (définition d'une fonction étagée positive donnée plus haut) que $|f| = \sum_{i=1}^n |a_i| 1_{A_i}$ et $\int_{[a,b]} |f| d \lambda = \sum_{i=1}^n |a_i| \lambda(A_i)$.
Or la mesure de Lebesgue est finie, on sait qu'on a $\lambda(A_i) < \infty$ et donc $\int_{[a,b]} |f| d \lambda < \infty$.
C'est juste ? Il y a une suite mais j'aimerais être au point là-dessus