Document sur le calcul différentiel

Bonjour,
En lisant le livre de Rouvière, F intitulé le petit guide de calcul différentiel, j'ai pu constituer une idée de base sur le calcul différentiel.
En P.J un fichier que j'ai rédigé à la lumière de cette lecture qui m'a aidé à poser des questions et à hiérarchiser les informations.
Je vous serais reconnaissante si vous pouviez le lire et me corriger les éventuelles erreurs.
Merci d'avance.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par AD.

Sur la forme, c'est plein de fautes de frappes et l'emploi de => dans le texte n'a pas lieu d'être.

Sur le fond, quand tu considères $a+h$ tu ne dis rien, me semble-t-il, sur le vecteur $h$ mais il faut qu'il soit de norme assez petite pour que $a+h$ appartienne à l'ouvert sur lequel la fonction $f$ est définie.

Une théorie nouvelle ne triomphe jamais. Ses détracteurs finissent par mourir.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par Fin de partie.

Je ne connais pas les notations officielles mais je pense qu'il est plus qu'intéressant (et nécessaire) de dire que l'application linéaire qui approche au premier ordre ta fonction doit être continue. Et de dire que si le plan tangent de l'espace de départ est de dimension finie alors la différentielle en ce point est ipso-facto continue (c'est marqué dans une de tes remarques mais formulé de manière spéciale).
Je pense aussi qu'il est superflu de faire un truc pseudo-général... Dit clairement que $\mathbb{K}$ est $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$... Car j'imagine mal que tu t'intéresses à différentier sur $\mathbb{H}$ par exemple.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit mois et a été effectuée par BobbyJoe.

Citation
BobbyJoe
de dire que l'application linéaire qui approche au premier ordre ta fonction doit être continue.

Qu'est-ce que cela veut dire?

Une application linéaire d'un espace vectoriel normé de dimension finie vers un espace normé de dimension finie est continue.
L'application qui à tout x d'un ouvert U associe la différentielle de f en x n'est pas une application linéaire.

Une théorie nouvelle ne triomphe jamais. Ses détracteurs finissent par mourir.

Ce n'est pas marqué clairement que $E$ et $F$ dans son texte sont de dimension finie, même si je ne pense pas que ce soit une bonne idée à ce niveau de considérer des différentielles dans le cas d'espaces de dimension infinie...

Effectivement en dimension finie la différentielle en un point est automatiquement continue.

Merci pour vos remarques,j'ai modifié le texte original ...

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