Convergence d'une distribution tempérée
Bonjour!
Je m'arrache les cheveux sur un exercice sur les distributions tempérées. On me donne la suite de fonctions $f_k(x)=\frac{2k^3x}{(1+k^2x^2)^2}$.
Après avoir déterminé la limite simple de cette suite de fonctions, et montré que les $f_k$ sont des distributions tempérées, on demande de déterminer la limite de $(f_k)$ dans $S'(R)$
Je n'arrive pas à déterminer cette limite... J'ai pris $h$ une fonction de l'espace de Schwartz et j'essaye donc de déterminer la limite quand $k\to\infty$ de $\int_\Bbb{R}f_k(x)h(x)dx$
J'ai essayé de majorer ma fonction pour appliquer le théorème de convergence dominée, j'ai tenté de séparer l'intégrale ( de $-\infty$ à $-1$, de $-1$ à $1$, et de $1$ à $\infty$, mon problème étant l'intégrale de $-1$ à $1$)
Si quelqu'un a une piste pour moi, il aura ma reconnaissance éternelle (ok, j'exagère un chouia....)
Merci beaucoup!
Ainah
Je m'arrache les cheveux sur un exercice sur les distributions tempérées. On me donne la suite de fonctions $f_k(x)=\frac{2k^3x}{(1+k^2x^2)^2}$.
Après avoir déterminé la limite simple de cette suite de fonctions, et montré que les $f_k$ sont des distributions tempérées, on demande de déterminer la limite de $(f_k)$ dans $S'(R)$
Je n'arrive pas à déterminer cette limite... J'ai pris $h$ une fonction de l'espace de Schwartz et j'essaye donc de déterminer la limite quand $k\to\infty$ de $\int_\Bbb{R}f_k(x)h(x)dx$
J'ai essayé de majorer ma fonction pour appliquer le théorème de convergence dominée, j'ai tenté de séparer l'intégrale ( de $-\infty$ à $-1$, de $-1$ à $1$, et de $1$ à $\infty$, mon problème étant l'intégrale de $-1$ à $1$)
Si quelqu'un a une piste pour moi, il aura ma reconnaissance éternelle (ok, j'exagère un chouia....)
Merci beaucoup!
Ainah
Réponses
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Procède par changement de variables $kx=y$ et utilise le théorème de CV dominée?
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La convergence uniforme sur $\R$ implique la convergence dans $S'(\R)$. Regarde si la convergence est uniforme ( je n'ai pas regardé)Le 😄 Farceur
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Merci BobbyJoe!
J'avais tenté ce changement de variable sans trop voir d'amélioration, mais je viens de le reprendre, et on s'en sort finalement en faisant une IPP et en utilisant les propriétés des fonctions de l'espace de Schwartz pour majorer ce qui reste! Un grand merci, j'avais abandonné cette piste du changement de variable trop tôt!! -
Gebrane merci! Je n'ai pas regardé la convergence uniforme, seule la simple était demandée et je n'ai pas ce théorème dans mon cours (pas encore du moins, on verra demain!) Merci du coup! Je suis en train de finaliser!
Merci à tous les deux pour ces réponses rapides! -
@ainah Tu trouves quoi comme résultat ?
Ta fonction c'est $f_k(x) = k^2f(kx)$, il est donc bon de regarder $g_k(x) = \int_0^x f_k(y)dy = k g(kx)$ et $ h_k(x) = \int_0^x g_k(y)dy = h(kx)$.
et on trouve donc que $h_k \to h_1(\infty) 1_{x >0} + h_1(-\infty) 1_{x < 0}$,
$g_k \to (h_1(\infty)-h_1(-\infty)) \delta$ et $f_k \to (h_1(\infty)-h_1(-\infty)) \delta'$. -
Peux-tu développer ainah tes calculs?Le 😄 Farceur
-
Gebrane je te mets ça lundi (week end, enfants, toussa)
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Bonjour!
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