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Convergence d'une distribution tempérée

Envoyé par ainah 
Convergence d'une distribution tempérée
il y a huit jours
Bonjour!
Je m'arrache les cheveux sur un exercice sur les distributions tempérées. On me donne la suite de fonctions $f_k(x)=\frac{2k^3x}{(1+k^2x^2)^2}$.
Après avoir déterminé la limite simple de cette suite de fonctions, et montré que les $f_k$ sont des distributions tempérées, on demande de déterminer la limite de $(f_k)$ dans $S'(R)$
Je n'arrive pas à déterminer cette limite... J'ai pris $h$ une fonction de l'espace de Schwartz et j'essaye donc de déterminer la limite quand $k\to\infty$ de $\int_\Bbb{R}f_k(x)h(x)dx$
J'ai essayé de majorer ma fonction pour appliquer le théorème de convergence dominée, j'ai tenté de séparer l'intégrale ( de $-\infty$ à $-1$, de $-1$ à $1$, et de $1$ à $\infty$, mon problème étant l'intégrale de $-1$ à $1$)
Si quelqu'un a une piste pour moi, il aura ma reconnaissance éternelle (ok, j'exagère un chouia....)
Merci beaucoup!
Ainah



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept jours et a été effectuée par jacquot.
Re: Convergence Distribution tempérée
il y a huit jours
Procède par changement de variables $kx=y$ et utilise le théorème de CV dominée?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit jours et a été effectuée par BobbyJoe.
Re: Convergence Distribution tempérée
il y a huit jours
avatar
La convergence uniforme sur $\R$ implique la convergence dans $S'(\R)$. Regarde si la convergence est uniforme ( je n'ai pas regardé)

--------------------------------------------------------------------------
[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]
Re: Convergence Distribution tempérée
il y a huit jours
Merci BobbyJoe!
J'avais tenté ce changement de variable sans trop voir d'amélioration, mais je viens de le reprendre, et on s'en sort finalement en faisant une IPP et en utilisant les propriétés des fonctions de l'espace de Schwartz pour majorer ce qui reste! Un grand merci, j'avais abandonné cette piste du changement de variable trop tôt!!
Re: Convergence Distribution tempérée
il y a huit jours
Gebrane merci! Je n'ai pas regardé la convergence uniforme, seule la simple était demandée et je n'ai pas ce théorème dans mon cours (pas encore du moins, on verra demain!) Merci du coup! Je suis en train de finaliser!
Merci à tous les deux pour ces réponses rapides!
Re: Convergence Distribution tempérée
il y a huit jours
@ainah Tu trouves quoi comme résultat ?

Ta fonction c'est $f_k(x) = k^2f(kx)$, il est donc bon de regarder $g_k(x) = \int_0^x f_k(y)dy = k g(kx)$ et $ h_k(x) = \int_0^x g_k(y)dy = h(kx)$.

et on trouve donc que $h_k \to h_1(\infty) 1_{x >0} + h_1(-\infty) 1_{x < 0}$,
$g_k \to (h_1(\infty)-h_1(-\infty)) \delta$ et $f_k \to (h_1(\infty)-h_1(-\infty)) \delta'$.



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a huit jours et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par reuns.
Re: Convergence Distribution tempérée
il y a sept jours
@reuns je trouve $-\pi\delta_0’$
Re: Convergence Distribution tempérée
il y a sept jours
avatar
Peux-tu développer ainah tes calculs?

--------------------------------------------------------------------------
[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]
Re: Convergence d'une distribution tempérée
il y a six jours
Gebrane je te mets ça lundi (week end, enfants, toussa)
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