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Envoyé par Leo10Messi 
Série numérique
il y a huit jours
Bonsoir
Je me permets de créer ce sujet par rapport à la correction d'un exercice que je n'ai pas réussi à faire.

Étudier la nature de la série suivante :
[Sigma de n>=3] (1!+2!+3!+...+ (n-2)!)/n

Écrivons pour tout entier N>=1 :

[Sigma de k=1 à N] k! =< NN! =< (N+1)!

donc (1!+2!+3!+...+ (n-2)!)/n! =< ((n-2)! + (n-2)!)/n!

Je n'arrive pas à comprendre cette dernière inégalité. ourquoi inférieur ou égal à ((n-2)! + (n-2)!)/n!.

Je vous remercie par avance pour vos explications.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a huit jours et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Série numérique
il y a huit jours
Ton message est tellement mal rédigé qu'il en devient illisible ! Tu pourrais au moins te relire (bouton "aperçu").

Mais j'ai l'impression que l'idée est :
1!+2!+3!<4!
donc 1!+2!+3!+4!<4!+4!

Si tu comprends la notation n!, tu devrais comprendre ce qui se passe.

Cordialement.
Re: Série numérique
il y a huit jours
Tout d'abord, je te remercie pour ta réponse.
j'essaye depuis hier de rédiger un message avec les notations sigma , inférieur ou égal .... mais le message ne s'affichait pas dans le forum. J'étais dans l'obligation de rédiger de cette manière (sachant que je n'ai pas de notios en Latex)
Je m'excuse pour la difficulté de la lecture du problème.

J'ai compris ton raisonnement. Est ce que cette logique 1!+2!+3!+4!<4!+4!, est valable pour tout k appartenant à au entiers naturels?
J'ai joins une copie PDF qui est contient le problème et qui est facile à lire.

Encore Merci.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - série.pdf (113.3 KB)
Re: Série numérique
il y a huit jours
Dans la correction, a été mis à part les $(n-3)$ premiers termes et le dernier terme de ta somme. Au premier morceau de ta somme est appliqué l'inégalité sur la somme des $k!$...
Re: Série numérique
il y a huit jours
Peux-tu développer s'il te plaît Bobby. Je n'ai pas compris ce que tu veux dire. J'ai saisi que les 3 premiers termes ont été exclus de la suite.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a huit jours et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
gb
Re: Série numérique
il y a huit jours
avatar
Bonjour,

Tout simplement :
\begin{array}{rcl}
1! & \leqslant & (n-3)! \\
2! & \leqslant & (n-3)! \\
3! & \leqslant & (n-3)! \\
\dots & \dots & \dots \\
(n-4)! & \leqslant & (n-3)! \\
(n-3)! & \leqslant & (n-3)! \\
\hline
\sum_{k=1}^{n-3}k! & \leqslant & (n-3).(n-3)!
\end{array}
et on conclut par :
\[(n-3).(n-3)! \leqslant (n-2).(n-3)! = (n-2)!\]
Re: Série numérique
il y a huit jours
Pour tout $N\leq 3,$ on a la chaîne d'inégalités suivantes $$\sum_{k=1}^{N-2}k!=\sum_{k=1}^{N-3}k!+(N-2)!\leq (N-3)(N-3)!+(N-2)!\leq (N-2)! +(N-2)!.$$
Et voilà!



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a huit jours et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par BobbyJoe.
Re: Série numérique
il y a huit jours
Un grand MERCI pour vos explications Bobby et GB, ainsi que pour la rapidité de vos retours. J'ai enfin compris.
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