Série numérique
dans Analyse
Bonsoir
Je me permets de créer ce sujet par rapport à la correction d'un exercice que je n'ai pas réussi à faire.
Étudier la nature de la série suivante :
[Sigma de n>=3] (1!+2!+3!+...+ (n-2)!)/n
Écrivons pour tout entier N>=1 :
[Sigma de k=1 à N] k! =< NN! =< (N+1)!
donc (1!+2!+3!+...+ (n-2)!)/n! =< ((n-2)! + (n-2)!)/n!
Je n'arrive pas à comprendre cette dernière inégalité. ourquoi inférieur ou égal à ((n-2)! + (n-2)!)/n!.
Je vous remercie par avance pour vos explications.
Je me permets de créer ce sujet par rapport à la correction d'un exercice que je n'ai pas réussi à faire.
Étudier la nature de la série suivante :
[Sigma de n>=3] (1!+2!+3!+...+ (n-2)!)/n
Écrivons pour tout entier N>=1 :
[Sigma de k=1 à N] k! =< NN! =< (N+1)!
donc (1!+2!+3!+...+ (n-2)!)/n! =< ((n-2)! + (n-2)!)/n!
Je n'arrive pas à comprendre cette dernière inégalité. ourquoi inférieur ou égal à ((n-2)! + (n-2)!)/n!.
Je vous remercie par avance pour vos explications.
Réponses
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Ton message est tellement mal rédigé qu'il en devient illisible ! Tu pourrais au moins te relire (bouton "aperçu").
Mais j'ai l'impression que l'idée est :
1!+2!+3!<4!
donc 1!+2!+3!+4!<4!+4!
Si tu comprends la notation n!, tu devrais comprendre ce qui se passe.
Cordialement. -
Tout d'abord, je te remercie pour ta réponse.
j'essaye depuis hier de rédiger un message avec les notations sigma , inférieur ou égal .... mais le message ne s'affichait pas dans le forum. J'étais dans l'obligation de rédiger de cette manière (sachant que je n'ai pas de notios en Latex)
Je m'excuse pour la difficulté de la lecture du problème.
J'ai compris ton raisonnement. Est ce que cette logique 1!+2!+3!+4!<4!+4!, est valable pour tout k appartenant à au entiers naturels?
J'ai joins une copie PDF qui est contient le problème et qui est facile à lire.
Encore Merci. -
Dans la correction, a été mis à part les $(n-3)$ premiers termes et le dernier terme de ta somme. Au premier morceau de ta somme est appliqué l'inégalité sur la somme des $k!$...
-
Peux-tu développer s'il te plaît Bobby. Je n'ai pas compris ce que tu veux dire. J'ai saisi que les 3 premiers termes ont été exclus de la suite.
-
Bonjour,
Tout simplement :
\begin{array}{rcl}
1! & \leqslant & (n-3)! \\
2! & \leqslant & (n-3)! \\
3! & \leqslant & (n-3)! \\
\dots & \dots & \dots \\
(n-4)! & \leqslant & (n-3)! \\
(n-3)! & \leqslant & (n-3)! \\
\hline
\sum_{k=1}^{n-3}k! & \leqslant & (n-3).(n-3)!
\end{array}
et on conclut par :
\[(n-3).(n-3)! \leqslant (n-2).(n-3)! = (n-2)!\] -
Pour tout $N\leq 3,$ on a la chaîne d'inégalités suivantes $$\sum_{k=1}^{N-2}k!=\sum_{k=1}^{N-3}k!+(N-2)!\leq (N-3)(N-3)!+(N-2)!\leq (N-2)! +(N-2)!.$$
Et voilà! -
Un grand MERCI pour vos explications Bobby et GB, ainsi que pour la rapidité de vos retours. J'ai enfin compris.
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Bonjour!
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