Linéarisation d'un équation différentielle

Teusner · December 2017

Bonsoir,
Je suis étudiant en CPGE, et j'aimerais résoudre une équation différentielle non linéaire issue du principe fondamental de la dynamique suivante. $$
m.\frac{d^2z(t)}{dt^2} = -mg + \frac{\mu_0N^2S}{(2z(t)+\frac{l}{\mu r})^2}
$$ Voilà, c'est l'équation différentielle vérifiée par $z$ en fonction de sa dérivée seconde temporelle. J'aimerais la linéariser, chose que je sais faire dans certains cas, mais là si je multiplie tout par le dénominateur je fais apparaître du $$z(t)\frac{d^2z(t)}{dt^2}
$$ Je sais en règle générale que l'on pose : $$z(t) = z_0 + \Delta z(t)$$ Et que l'on peut écrire l'équation au point de fonctionnement $z_0$, mais la cela devient vite compliqué ! Auriez-vous la possibilité de m'expliquer comment rendre cette équation différentielle linéaire de la forme : $$\boxed{a\ddot{z}(t) + b\dot{z}(t) +cz(t) = d}$$
Voilà, j'espère que j'ai été clair, et que j'ai posé les bases du problème. Je ne sais vraiment pas par où commencer ... S'il vous manque quelques informations n'hésitez pas à me demander de plus amples précisions.
Teusner

gebrane · December 2017

$\dfrac{\mu_0N^2S}{(2z(t)+\frac{l}{\mu r})^2}=\dfrac{(\mu r)^2\mu_0N^2S}{(2\mu rz(t)+1)^2}$
Si l'un des paramètres $\mu$ ou $ r$ est très faible, tu peux utiliser l'approximation $\dfrac 1{(1+\epsilon)^2}=1-2\epsilon$ sous réserve que $t\mapsto z(t)$ bornée.

Héhéhé · December 2017

C'est une bonne idée de partir de $z(t) = z_0 + \Delta z(t)$ où $z_0$ est un état d'équilibre et $\Delta z(t)$ est supposé "petit".
Essaye de calculer pour le membre de gauche $\dfrac{d^2 \Delta z}{dt^2}(t)$ en fonction de $\dfrac{d^2z}{dt^2}(t)$.
Pour le membre de droite, tu peux utiliser le fait que $$\frac{1}{(1+x)^2} = 1 - 2x + \mathcal O(x^2), \quad x \to 0.
$$ Je te laisse trouver ici ce que c'est $x$ !

Teusner · December 2017

Bonsoir
Merci beaucoup pour vos réponses.
En effet, j'arrive bien à : $$\boxed{m\frac{d^2\Delta z(t)}{dt^2} + 2\mu_0N^2S\left(\frac{\mu r}{l}\right)^3 \Delta z(t)= -mg +\mu_0N^2S\left(\frac{\mu r}{l}\right)^3}
$$ Et en posant : $$\lambda = \mu_0N^2S\left(\frac{\mu r}{l}\right)^3
$$ Alors : $$\boxed {\frac{d^2\Delta z(t)}{dt^2} + 2\lambda \Delta z(t)= -mg +\lambda}
$$ Encore merci, je n'avais pas pensé à utiliser ce DL, car je n'avais pas pensé à factoriser le dénominateur par $\frac{l}{\mu r}$.
Voilà, Bonne continuation ...
Teusner

YvesM · December 2017

Bonjour,

Tu oublies un $m$ en facteur de l’accélération.

Comme je suis physicien, j’aime bien comprendre le système. Ici, on peut intégrer l’équation différentielle initiale sans linearisation. La résolution est exacte et explicite je pense.
Pour lineariser, il faut justifier que $z$ s’eloigne peu d’une certaine valeur $z_0$ : est-ce le cas ? Que vaut cette valeur ? Interprétation physique ?

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Bonjour!

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