surjectivité et les points réguliers
Bonsoir.
Je ne sais pas pourquoi notre prof dit:
Pour montrer que Dg(x,y) est surjectif (g est la fonction de la surface implicite S={(x,y) € R2, g(x,y)=0)} il suffit de montrer que tous les points de S sont réguliers.
Dans un autre exercice il est utilisé la régularité pour montrer que Df(X) (matrice jacobienne de f) est bijective.
Ma question est : quelle est la relation entre la surjectivité et la régularité et quelle est la relation entre la bijectivité et la régularité.
Je souhaite que les choses soient claires et merci.
Je ne sais pas pourquoi notre prof dit:
Pour montrer que Dg(x,y) est surjectif (g est la fonction de la surface implicite S={(x,y) € R2, g(x,y)=0)} il suffit de montrer que tous les points de S sont réguliers.
Dans un autre exercice il est utilisé la régularité pour montrer que Df(X) (matrice jacobienne de f) est bijective.
Ma question est : quelle est la relation entre la surjectivité et la régularité et quelle est la relation entre la bijectivité et la régularité.
Je souhaite que les choses soient claires et merci.
Réponses
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Certains prennent ce que tu dis comme définition
https://perso.univ-rennes1.fr/karim.bekka/CDHO/TD/TD4.pdf exercice 3.3
Quelle est ta definition d'un point régulier de S?Le 😄 Farceur -
Gebrane
La definition est > tous les points (x,y) qui verifient le gradient de g(x,y) est different de 0 . -
Bien que la surface implicite me semble être une courbe, telles que je comprends les données du problème, Dg est une forme linéaire : elle est nulle ou surjective.
La définition des points réguliers par le gradient est : Dg est non nulle. La conclusion s'impose.
Par contre je ne comprends pas qui est Df... -
gb
Merci, je ne sais pas pourquoi la forme linéaire Dg soit est nulle ou surjective ? -
@abdolahbd : c'est le cas pour toute forme linéaire. Son rang ne peut être que $0$ ou $1$ par définition.
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Poirot
Merci, mais pourquoi on utilise la régularité ?
Et pourquoi pas le rang ne peut être que 0 ou 1 ou 2 ?
Je ne suis pas fort au niveau des applications linéaires, tu peux me rappeler a cette définition ? -
Une forme linéaire est une application linéaire d'un espace vectoriel (réel par exemple) dans $\mathbb R$. Les $\mathbb R$-sous-espaces vectoriels de $\mathbb R$ sont $\{0\}$ et $\mathbb R$, donc ne sont de dimension que $0$ ou $1$. Ceci s'applique donc à l'image de ta forme linéaire.
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oui j' ai trouvé que dimension est 1 .
est ce que ceci implique que Dg est surjective. -
Révise la définition de la surjectivité pour répondre à cette question.
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Et on a : $g(x,y)=2 x^2+ xy + 2 y^2 -1$.
Je pense qu'il y a une autre méthode :
si on calcule la jacobienne on obtient : $(4x+y, 4y+x)$
donc est-ce qu' il suffit de savoir le rang de cette matrice pour conclure la surjectivité ?
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