Étude d'une fonction

Soit $\theta>0$ un paramètre fixé. On considère la fonction : $$
f(t)=\frac{\frac{\sin(t\sqrt{\sinh^2(\theta)-1)}}{\sqrt{\sinh^2(\theta)-1}}-\sinh(t)}{2\frac{\sin^2(t\sqrt{\sinh^2(\theta)-1)}}{\sinh^2(\theta)-1}-(\cosh(t)-1)}
$$ Je veux étudier $f$ sur $]0,+\infty[$. J'ai dérivé $f$ et j'ai trouvé : $$
f'(t)=\frac{\Big(\cos(t\sqrt{\sinh^2(\theta)-1})-\cosh(t)\Big)\Big(2\frac{\sin^2(t\sqrt{\sinh^2(\theta)-1)}}{\sinh^2(\theta)-1}-(\cosh(t)-1)\Big)-(2\frac{\sin(\frac{t}{2}\sqrt{\sinh^2(\theta)-1})\cos(\frac{t}{2}\sqrt{\sinh^2(\theta)-1}) }{\sqrt{sh^2(\theta)-1}}\Big) \Big(\frac{\sin(t\sqrt{\sinh^2(\theta)-1)}}{\sqrt{\sinh^2(\theta)-1}}-\sinh(t)\Big)}{\Big(2\frac{\sin^2(t\sqrt{\sinh^2(\theta)-1)}}{\sinh^2(\theta)-1}-(\cosh(t)-1)\Big)^2}
$$ Mais je n'arrive pas à simplifier $f'$ pour étudier son signe.
Merci de m'aider.