Intégrale de Riemann et de Lebesgue
dans Analyse
Bonsoir
J'essaie de traiter l'exercice suivant mais j'ai du mal, sûrement car il me manque certaines définitions :-(
Soit $f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction Riemann intégrable.
On rappelle que pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, il existe donc des fonctions en escalier $g_k$ et $h_k$ sur $[a,b]$ vérifiant :
• $g_k \leq f \leq h_k$ sur $[a,b]$,
• $0 \leq \int_a^b h_k (x) dx - \int_a^b g_k(x) dx \leq \frac{1}{k}$,
• $\int_a^b f(x)dx = \lim\limits_{k \rightarrow +\infty} \int_a^b h_k(x) dx = \lim\limits_{k \rightarrow +\infty} \int_a^b g_k(x) dx$.
On pose pour tout $x \in [a,b]$ : $$g(x) = \sup\{g_k(x)\mid k \in \mathbb{N}^* \}\quad\text{et}\quad h(x) = \inf\{h_k(x)\mid k \in \mathbb{N}^* \}$$
1) Montrer que pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, on a : $g_k \leq g \leq f \leq h \leq h_k$.
2) Montrer que $h-g$ est $\lambda$-sommable et que $\int_{[a,b]} (h-g) d\lambda(x) = 0$.
3) En déduire que $f=g=h$, $\lambda$-presque partout. En déduire que $f$ est Lebesgue-mesurable.
4) Montrer que $f$ est $\lambda$-sommable.
5) Montrer que $\int_{[a,b]} f d\lambda(x) = \int_a^b f(x)dx$.
Pouvez-vous me dire si le peu de réponses que j'ai données est juste ?
1) D'après les rappels, on a $g_k \leq f \leq h_k$, $\forall k \in \mathbb{N}^*$.
Or $g_k \leq \sup\{g_k\} = g$ et $h = \inf\{h_k\} \leq h_k$.
On a donc bien le résultat souhaité.
2) $h-g$ est sommable si $\int_{[a,b]} |h-g| d \lambda < \infty$.
$\int_{[a,b]} |h-g| d \lambda = \int_{[a,b]} |\inf\{h_k\}-\sup\{g_k\} | d \lambda$. Comme $g \leq h$, j'écris $\int_{[a,b]} |\inf\{h_k\}-\sup\{g_k\} | d \lambda = \int_{[a,b]} \inf\{h_k\}-\sup\{g_k\} d \lambda = \int_{[a,b]} \inf\{h_k\} d\lambda - \int_{[a,b]} \sup\{g_k\} d\lambda$ (ce résultat est vrai uniquement si $g,h \in L^1$).
Toujours si $g,h \in L^1$, on peut écrire $ \int_{[a,b]} g d \lambda = \int_{[a,b]} \sup\{g_k\} d \lambda \leq \int_{[a,b]} \inf\{h_k\} d \lambda = \int_{[a,b]} h d\lambda$ par croissance de l'intégrale et car $g \leq h$.
Ce qui montrerait que $\int_{[a,b]} |h-g| d \lambda < \infty$.
Puis je bloque totalement sur $\int_{[a,b]} (h-g) d \lambda = 0$...
3) Si j'admets le résultat précédent ($\int_{[a,b]} (h-g) d \lambda = 0$), comme $h-g$ est sommable et positif, on pourrait écrire :
$\int_{[a,b]} h-g d \lambda = 0$ ==> $h-g=0$ presque partout, et donc $ h = g = f $ presque partout.
Je bloque sur deuxième partie de la question 2)... Quelqu'un pourrait m'y aider ?
De plus, j'ai du mal à comprendre la différence entre "Montrer que $f$ est Lebesgue mesurable" et " Montrer que $f$ est $\lambda$-sommable". Pour moi, c'était la même chose :-(
Merci beaucoup d'avance !
J'essaie de traiter l'exercice suivant mais j'ai du mal, sûrement car il me manque certaines définitions :-(
Soit $f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction Riemann intégrable.
On rappelle que pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, il existe donc des fonctions en escalier $g_k$ et $h_k$ sur $[a,b]$ vérifiant :
• $g_k \leq f \leq h_k$ sur $[a,b]$,
• $0 \leq \int_a^b h_k (x) dx - \int_a^b g_k(x) dx \leq \frac{1}{k}$,
• $\int_a^b f(x)dx = \lim\limits_{k \rightarrow +\infty} \int_a^b h_k(x) dx = \lim\limits_{k \rightarrow +\infty} \int_a^b g_k(x) dx$.
On pose pour tout $x \in [a,b]$ : $$g(x) = \sup\{g_k(x)\mid k \in \mathbb{N}^* \}\quad\text{et}\quad h(x) = \inf\{h_k(x)\mid k \in \mathbb{N}^* \}$$
1) Montrer que pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, on a : $g_k \leq g \leq f \leq h \leq h_k$.
2) Montrer que $h-g$ est $\lambda$-sommable et que $\int_{[a,b]} (h-g) d\lambda(x) = 0$.
3) En déduire que $f=g=h$, $\lambda$-presque partout. En déduire que $f$ est Lebesgue-mesurable.
4) Montrer que $f$ est $\lambda$-sommable.
5) Montrer que $\int_{[a,b]} f d\lambda(x) = \int_a^b f(x)dx$.
Pouvez-vous me dire si le peu de réponses que j'ai données est juste ?
1) D'après les rappels, on a $g_k \leq f \leq h_k$, $\forall k \in \mathbb{N}^*$.
Or $g_k \leq \sup\{g_k\} = g$ et $h = \inf\{h_k\} \leq h_k$.
On a donc bien le résultat souhaité.
2) $h-g$ est sommable si $\int_{[a,b]} |h-g| d \lambda < \infty$.
$\int_{[a,b]} |h-g| d \lambda = \int_{[a,b]} |\inf\{h_k\}-\sup\{g_k\} | d \lambda$. Comme $g \leq h$, j'écris $\int_{[a,b]} |\inf\{h_k\}-\sup\{g_k\} | d \lambda = \int_{[a,b]} \inf\{h_k\}-\sup\{g_k\} d \lambda = \int_{[a,b]} \inf\{h_k\} d\lambda - \int_{[a,b]} \sup\{g_k\} d\lambda$ (ce résultat est vrai uniquement si $g,h \in L^1$).
Toujours si $g,h \in L^1$, on peut écrire $ \int_{[a,b]} g d \lambda = \int_{[a,b]} \sup\{g_k\} d \lambda \leq \int_{[a,b]} \inf\{h_k\} d \lambda = \int_{[a,b]} h d\lambda$ par croissance de l'intégrale et car $g \leq h$.
Ce qui montrerait que $\int_{[a,b]} |h-g| d \lambda < \infty$.
Puis je bloque totalement sur $\int_{[a,b]} (h-g) d \lambda = 0$...
3) Si j'admets le résultat précédent ($\int_{[a,b]} (h-g) d \lambda = 0$), comme $h-g$ est sommable et positif, on pourrait écrire :
$\int_{[a,b]} h-g d \lambda = 0$ ==> $h-g=0$ presque partout, et donc $ h = g = f $ presque partout.
Je bloque sur deuxième partie de la question 2)... Quelqu'un pourrait m'y aider ?
De plus, j'ai du mal à comprendre la différence entre "Montrer que $f$ est Lebesgue mesurable" et " Montrer que $f$ est $\lambda$-sommable". Pour moi, c'était la même chose :-(
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Réponses
Comme $g_k, h_k \in L^1$, on a $\int_{[a,b]} \inf(h_k) d \lambda \leq \int_{[a,b]} h_k d \lambda$ et $\int_{[a,b]} \sup(g_k) d \lambda \geq \int_{[a,b]} g_k d\lambda $ par croissance de l'intégrale.
Donc $\int_{[a,b]} \inf(h_k) d\lambda - \int_{[a,b]} \sup(g_k) d \lambda \leq \int_{[a,b]} h_k d \lambda - \int_{[a,b]} g_k d\lambda < 1/k < \infty$.
Question 2) Pourquoi est-ce que $g$ et $h$ sont mesurable, déjà ? Sinon, en effet, $h-g\le h_k-g_k$ pour tout $k$ donc $h-g$ est intégrable et son intégrale est inférieure à tous les $1/k$ ($k\in\N^*$).
NB : Pour justifier ce point, il faut utiliser le fait que pour $g_k$ et $h_k$, qui sont des fonctions en escalier, les intégrales de Riemann et de Lebesgue coïncident.
NB : $|h|\le\max(|h_k|,|g_k|)$ pour tout $k$ donc $h$ est $\lambda$-sommable ; idem pour $g$.
Question 3) Si l'intégrale d'une fonction positive ou nulle est nulle, alors...
Question 4) La mesurabilité de $f$ résulte de la question 3 (pour la tribu de Lebesgue). L'encadrement de $f$ entre $g$ et $h$ donne la sommabilité.
Question 5) C'est facile à présent.
Pour la question 1), je dirais que $g \leq f$ car $g_k \leq f \forall k$ et comme g est le sup des $g_k$, il est également $\leq f$.
Pour la question 5), on a vu qu'en tant que fonctions en escalier, les intégrales de Riemann et de Lebesgue coïncident pour $g_k$ et $h_k$.
Comme $f=g=h$ presque partout, on a aussi $ \int_{[a,b]} f d\lambda = \int_{[a,b]} g d\lambda = \int_{[a,b]} h d\lambda$.
Mais il faudrait montrer que $\int_a^b f(x) dx = \lim_{k \rightarrow + \infty} \int_a^b h_k(x) dx = \lim_{k \rightarrow + \infty} \int_a^b g_k(x) dx$ (le rappel) est égal à $\int_{[a,b]} h d \lambda = \int_{[a,b]} g d \lambda$, non ?
5) Oui, c'est ça. Il s'agit de trouver la limite des intégrales de Riemann, ou mieux, de Lebesgue, de $(g_k)$ et de $(h_k)$ ; et ce, qu'on l'exprime comme l'intégrale de Lebesgue de $g$, de $h$ ou directement de $f$. Pour cela, il n'y a qu'à trouver un théorème de convergence d'une suite d'intégrales vers l'intégrale de la limite dans la boîte à outils étiquetée Lebesgue. Il y en a deux qui sautent aux yeux, les deux fonctionnent.
Je vais choisir $(g_k)$.
Comme $|g_k| < \infty$ on a $ \int_a^b f(x)dx = \lim_{k \rightarrow +\infty} \int_{[a,b]} g_k d \lambda = \int_{[a,b]} \lim_{k \rightarrow +\infty} g_k d \lambda = \int_{[a,b]} \sup(g_k) d \lambda = \int_{[a,b]} f d \lambda$.
Comme $g_k \leq g = f$, on a que $(g_k)$ est croissante et converge vers $g$ (ou $f$).
Ou alors je me suis perdue :-o
Deux options : comme $f$ est bornée, on peut ajouter une constante assez grande pour que toutes les fonctions $g_k$ soient positives ; ou bien on applique le théorème de convergence dominée.
Edit : L'inquiétude, ça peut poindre mais pas pointer !