l'hypothèse de domination(intégration)

Bonjour
On se propose de montrer que la fonction $G(x) = \int_{0}^{\infty} \frac{\exp^{-t^2x}}{1+t^2}dt$ est dérivable sur $]0,+\infty[$
J'utilise donc le théorème de dérivation sous le signe $\int$ :
(i) la fonction $ t \mapsto \frac{\exp^{-t^2x}}{1+t^2} $ est mesurable pour tout $x \in [0,+\infty[ $ car elle est continue.
(ii) la fonction $x \mapsto \frac{\exp^{-t^2x}}{1+t^2} $ est dérivable pour tout $t \in [0,+\infty[$ et on a sa dérivée vaut $\frac{-t^2\exp^{-t^2x}}{1+t^2}$
(iii) pour $x = 0$, on a $ t \mapsto \frac{\exp^{-t^2x}}{1+t^2} = \frac{1}{1+t^2} $ intégrable au sens de Lebesgue car positive et l'intégrale de Riemann généralisée converge (je suis consciente que cette hypothèse peut être vérifiée pour tout $t$ et non seulement pour un $t$ particulier mais c'est le cours de mon prof et c'est une hypothése moins faible donc un théorème plus fort ..)
(iv) là c'est ma question : pour moi, j'ai majoré $|\frac{-t^2\exp^{-t^2x}}{1+t^2}|$ (non pas par $\frac{1}{1+t^2}$ comme
je l'ai fait dans le message avant de l'éditer en demandant si c'est vrai ou pais) mais par $\frac{t^2}{1+t^2}$ (car $-t^2x$ est négatif et la fonction exponenetielle est croissante) qui n'est pas intégrable. Dans la correction, il fixe un $a > 0$ et il majore par $t \mapsto \exp^{-at^2}$ dans ce cas la fonction est intégrable. Alors pourquoi la majoration par un $a >0$ permet de conclure sur tout l'intérvale $]0,+\infty[$

Merci d'avance.