exercice inégalité

nizar13 · December 2017

Bonjour,
Voici un exercice que j'ai trouvé dans un olympiade :
Soit a, b, c, x, y, z des réels qui vérifient :
a+b+c=x+y+z et a+x>=b+y>=c+z>=0
Montrer que ay+bx>=ac+xz
Quelqu'un pourrait me donner un indice parce que je suis bloqué.
Merci d'avance

YvesM · December 2017

Bonjour,

Suppose $a\geq x $. Facile.
Suppose $a\leq x$. Montre qu’alors $z\leq b$. Considère la quantité $(x-a)(b-z)\geq 0$. Facile.

nizar13 · December 2017

bonjour,
je l'ai résolu, on peut trouver que 2(ay+bx-ac-xz)=(a-x)²+(a+c)(b+y-c-z) ce qui est positif,
merci quand même YvesM pour le coup de main

YvesM · December 2017

Bonjour,

Peux-tu donner ton raisonnement ? Je suis curieux de comprendre comment les inégalités sont utilisées pour établir ce résultat.

Tonm · December 2017

Ce qui est fait est quasiment faux. Pour prouver l'inégalité. Mettre $ak-xh\ge 0$ à prouver; $k=y-c$ et $h=z-b$ . Les cas seront $a\ge 0$ et $x\ge 0$, $a$ négatif et $x$ positif... avec $a=x+h+k$ et $a+x\ge 0$ (encadrement de $x$) etc

nizar13 · February 2018

Salut,
Désolé pour l'absence,Tomn je ne sais pas si tu parlais de ma solution quand tu disais que c'est faux mais il suffit de developper le résultat pour prouver que c'est vrai, sinon pour la methode j'ai fait comme cela:
A=ay+bx-ac-xz=a(y-c)+x(b-z)
=a(a+b-x-z)+x(x+y-a-c) (car a+b+c=x+y+z)
=(a-x)²+a(b-z)+x(y-c)
donc 2A=(a-x)²+a(b-z)+x(y-c)+a(y-c)+x(b-z)
=(a-x)²+(a+x)(b-z+y-x)
voila comment je l'ai démontré

Tonm · February 2018

Oui, merci! je mettrai ma solution...

exercice inégalité

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