Bonjour,
Voici un exercice que j'ai trouvé dans un olympiade :
Soit a, b, c, x, y, z des réels qui vérifient :
a+b+c=x+y+z et a+x>=b+y>=c+z>=0
Montrer que ay+bx>=ac+xz
Quelqu'un pourrait me donner un indice parce que je suis bloqué.
Merci d'avance
Ce qui est fait est quasiment faux. Pour prouver l'inégalité. Mettre $ak-xh\ge 0$ à prouver; $k=y-c$ et $h=z-b$ . Les cas seront $a\ge 0$ et $x\ge 0$, $a$ négatif et $x$ positif... avec $a=x+h+k$ et $a+x\ge 0$ (encadrement de $x$) etc
Salut,
Désolé pour l'absence,Tomn je ne sais pas si tu parlais de ma solution quand tu disais que c'est faux mais il suffit de developper le résultat pour prouver que c'est vrai, sinon pour la methode j'ai fait comme cela:
A=ay+bx-ac-xz=a(y-c)+x(b-z)
=a(a+b-x-z)+x(x+y-a-c) (car a+b+c=x+y+z)
=(a-x)²+a(b-z)+x(y-c)
donc 2A=(a-x)²+a(b-z)+x(y-c)+a(y-c)+x(b-z)
=(a-x)²+(a+x)(b-z+y-x)
voila comment je l'ai démontré
Réponses
Suppose $a\geq x $. Facile.
Suppose $a\leq x$. Montre qu’alors $z\leq b$. Considère la quantité $(x-a)(b-z)\geq 0$. Facile.
je l'ai résolu, on peut trouver que 2(ay+bx-ac-xz)=(a-x)²+(a+c)(b+y-c-z) ce qui est positif,
merci quand même YvesM pour le coup de main
Peux-tu donner ton raisonnement ? Je suis curieux de comprendre comment les inégalités sont utilisées pour établir ce résultat.
Désolé pour l'absence,Tomn je ne sais pas si tu parlais de ma solution quand tu disais que c'est faux mais il suffit de developper le résultat pour prouver que c'est vrai, sinon pour la methode j'ai fait comme cela:
A=ay+bx-ac-xz=a(y-c)+x(b-z)
=a(a+b-x-z)+x(x+y-a-c) (car a+b+c=x+y+z)
=(a-x)²+a(b-z)+x(y-c)
donc 2A=(a-x)²+a(b-z)+x(y-c)+a(y-c)+x(b-z)
=(a-x)²+(a+x)(b-z+y-x)
voila comment je l'ai démontré