Calcul d'une intégrale

Aucune n'est convergente de toute façon. Merci de bien lire la question avant de la poser.

Ton intégrale diverge...

Bonjour,

L’integrale semble être $\int_0^{+\infty} {u^2 \over 1+u^4} du$.

Montre qu’elle existe. Utilise la relation de Chasles avec coupure en $1.$ Ramène les bornes entre $0$ et $1$ par le changement de variables $u \leadsto v$ avec $v=1/u.$ Utilise la parité de l’integrande pour ramener les bornes entre $-1$ et $1.$ Factorise le dénominateur par deux polynômes réels de degré deux. Introduis un terme supplémentaire dans le numérateur. Simplifie. Reconnais-tu la dérivée d’un arctangente ? Conclus.

On doit pouvoir faire plus simple, mais je fais les calculs de tête et c’est celui-ci qui me viens.

On peut aussi remarquer qu'on peut écrire $\dfrac{x^2}{1+x^4}$ sous la forme $f\left(x-\frac{1}{x}\right)$.

Le théorème des résidus est une méthode puissante de calcul des intégrales mais il faut se coltiner les "détails".
Dans le cas d'espèce, par exemple, il faut montrer pourquoi l'"intégrale" prise sur un demi-cercle supérieur compte pour rien quand le rayon tend vers l'infini (utilisation des lemmes dits de Jordan).

Chaurien:

Le seul théorème des résidus que je connaisse nécessite d'évaluer une intégrale de chemin. Dans le cas d'espèce le chemin consiste à parcourir l'axe des x de -R à R et de refermer le chemin en parcourant le demi-cercle de centre O et de rayon R dans le sens trigonométrique. La première intégrale de chemin est égale quand R tend vers l'infini à l'intégrale à calculer et la deuxième intégrale de chemin va tendre vers 0 quand R tend vers l'infini.

Il faut bien que ces deux approches coïncident et que donc la deuxième intégrale de chemin tende vers 0 quand R tend vers l'infini. Est-ce que la condition deg Q>=deg P+2 garantit cela?

PS:

Un autre calcul possible et plus direct:

Pour $f$ continue sur l'ensemble des réels.

On a,

$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f\left(x-\frac{1}{x}\right)\,dx=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx$

Dans le cas d'espèce,

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{1+x^4}=\frac{1}{\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2}$


Donc,

$\begin{align} \int_{0}^{+\infty}\frac{x^2}{1+x^4}\,dx&=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x^2}{1+x^4}\,dx\\
&=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{2+x^2}\,dx\\
&=\frac{1}{2}\Big[\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\Big]_{-\infty}^{+\infty}\\
&=\boxed{\frac{\pi}{2\sqrt{2}}}\\
\end{align}$

@FdP
La condition deg Q>=deg P+2 est indispensable pour que l'intégrale converge. Moi j'ai rédigé une démonstration dans le cadre du programme de Math. Spé., indépendante de toute intégrale de contour et de toute notion appartenant à la théorie des fonctions de la variable complexe.
J'ignore la réponse à ta question. Pour la variable complexe pratique, j'aime bien le livre de la série Schaum.
Bonne après-midi.
Fr. Ch.

$\Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b)=\int_0^{\infty}\frac{v^{a-1}dv}{(1+v)^{a+b}}$ et $\Gamma(p)\Gamma(1-p)=\pi/\sin(p\pi).$ Il n'y a plus qu'a poser $v=x^4$ dans l'integrale demandee.