Théorème d'isomorphisme de Banach

[ Titre initial :
Problème avec thm d'isomorphisme de Banach
Efforçons-nous d'écrire en langage clair. jacquot ]
Bonjour,

Je suis en train d'étudier le théorème de Banach-Schauder. Un de ses corollaires est que si une bijection linéaire entre deux espaces de Banach est continue alors sa bijection réciproque est continue.

Pour me faire une idée j'étudie quelques exemples, et j'ai un problème avec l'exemple suivant :

Je considère l'opérateur intégral $K:E\longrightarrow E$ avec $E$ l'espace des fonctions continues sur $[0,1]$ muni de la norme $||.||_\infty$, tel que $Kf(x)=\int_0^x f(t)dt$.

$E$ muni de cette norme est un espace de Banach il me semble ?
De plus $K$ est linéaire (trivial), bijectif (intégral/dérivée), et continu ($||Kf||_\infty\le ||f||_\infty$) pour cette norme, non ?
Donc $K^{-1}$ devrait être continu d'après le théorème ?

Pourtant si je considère la suite de fonctions $f_n(x)=\sin(n^2x)/n$ : cette suite converge vers 0, et pourtant $K^{-1}f_n(x)=n\cos(n^2x)$ diverge.

Je n'arrive pas à voir ce que je fais de mal. Pourriez-vous m'indiquer où je me trompe ?

Merci !