Fonction non bornée

Bonjour.

Que penses-tu de la fonction nulle sur les irrationnels, et qui associe au rationnel $\frac a b$ (avec b>0 et a et b premiers entre eux) la valeur b ?

Cordialement.

Trop tard, Gb a dégainé le premier :-) ! Salut Gb.

Plus sophistiqué et moins explicite. Si $f$ est une solution de l'équation fonctionnelle $f(x+y)=f(x)+f(y)$ (valable pour tout $(x,y)\in\R^2$), il est équivalent de dire que $f$ est bornée sur un intervalle et qu'il existe $k\in\R$ tel que pour tout $x$, $f(x)=kx$. Il me semble qu'on a vu passer cette propriété non triviale il y a quelques mois.

Grâce à l'axiome du choix, on peut alors choisir une base du $\Q$-espace vectoriel $\R$, disons $(x_i)_{i\in I}$ et choisir pour chaque $i\in I$ un réel non nul $\lambda_i$. En ayant fixé deux éléments $i_1,i_2\in I$, on s'assure simplement que $\frac{\lambda_{i_1}}{x_{i_1}}\ne\frac{\lambda_{i_2}}{x_{i_2}}$. L'unique application $\Q$-linéaire $f:\R\to\R$ telle que $f(x_i)=\lambda_i$ n'étant pas de la forme $x\mapsto kx$ grâce à la précaution précédente, elle n'est bornée sur aucun intervalle.

C'est très connu, cherche du côté de l'équation fonctionnelle de Cauchy, il y a tout un tas d'équivalence qui assurent le fait que la solution soit une homothétie (la mesurabilité suffit par exemple si ma mémoire est bonne). On en a souvent parlé sur le forum, et il y a plein de pdf en ligne là-dessus.

Mieux, pour une solution discontinue de l'équation fonctionnelle de Cauchy linéaire $f(x+y)=f(x)+f(y)$, l'image de tout intervalle (non trivial) est dense dans $\mathbb R$.