Intégrale de 0 à infini de exp(-t)*ln(t)

En développant l'exponentielle en série entière ?

On peut essayer d'approcher \(e^{-t}\) par \(\left(1-\dfrac{t}{n}\right)^n\), mais on va se heurter au même problème, donc essayer d'approcher \(e^{-t}\) par \(\left(1-\dfrac{t}{n}\right)^n\mathbf{1}_{[n,+\infty[}(t)\), où \(\mathbf{1}_{[n,+\infty[}\) est l'indicatrice de l'intervalle \([n,+\infty[\), peut s'avérer un bon compromis.

J'ai toujours trouvé ce problème galère.
En intégrant par partie $\int_0^\infty e^{-t} \log (t) dt = \int_0^\infty \frac{e^{-t}-1_{t < 1}}{t}dt$
On a aussi $\gamma=\lim_{N \to \infty}\sum_{n=1}^N \frac{1}{n}-\log(N) = \int_0^\infty (\frac{1}{e^t-1}-\frac{1_{t < 1}}{t})dt$
Et $\int_0^\infty t^{s}(\frac{e^{-t}}{t}-\frac{1}{e^t-1})dt = \Gamma(s)-\zeta(s+1)\Gamma(s+1)=\Gamma(s+1) (\frac{1}{s}-\zeta(s+1))$
En faisant tendre $s \to 0$ on devrait trouver $\int_0^\infty (\frac{e^{-t}}{t}-\frac{1}{e^t-1})dt = 0$