Solution de $x^n + x -1=0$

Bonjour
Je m'intéresse à la suite $\alpha$ définie pour tout $n\in\N$ comme l'unique solution de l'équation $x^n+x-1=0$ sur $[0,1]$.

J'ai déjà la convergence de $\alpha$ (car elle est croissante majorée par 1), j'ai trouvé que sa limite $\ell$ est 1 mais le raisonnement me paraît un peu alambiqué pour des élèves.

Pour tout $n\in\N$, $\alpha_n\in [0;1]$, donc $\ell \in [0;1]$.
Supposons que $\ell < 1$. Alors $\forall n\in\N$, $\alpha_n\le\ell<1$ et donc $\alpha_n^n \to 0$.
Comme $\alpha_n^n + \alpha_n -1 =0$, on en déduit que $\alpha_n \to 1$. Contradiction.
Donc $\ell = 1$.

Déjà : n'ai-je pas écrit de bêtises ? Y a-t-il bien un souci avec ce fichu $\alpha_n^n$ qui peut tendre vers n'importe quoi a priori ou alors je passe à côté d'un argument simple ?
Puis : avez-vous plus élégant ?