Calcul d'intégrale, changement de variables
dans Analyse
Bonjour
Pour $t \geq 0$, on pose $\quad\displaystyle I(t) = \int_{[1,+\infty[\times\mathbb{R}} \dfrac{1}{x^2 y^2 + x^2 + t} dx dy$.
Calculer $I(t)$ à l'aide du changement de variables $x = \sqrt{v^2-t}$, $~y = \dfrac{uv}{\sqrt{v^2-t}}$.
J'ai un peu de mal, voici ce que j'ai fait ... Alors déjà la matrice jacobienne est :
$J = \begin{pmatrix} 0 & \dfrac{v}{\sqrt{v^2-t}} \\ \dfrac{v}{\sqrt{v^2-t}} & -\dfrac{tu}{\left(v^2-t\right)^\frac{3}{2}} \end{pmatrix},\ $ donc $\det(J) = -\dfrac{v^2}{v^2-t}$.
Donc $$\begin{align*}
I(t) &= \int_{[1,+\infty[\times\mathbb{R}} \dfrac{1}{x^2 y^2 + x^2 + t} dx dy \\
&= \iint \dfrac{1}{(\sqrt{v^2-t})^2(\frac{uv}{\sqrt{v^2-t}})^2 + (\sqrt{v^2-t})^2 +t} \times \dfrac{-v^2}{v^2-t} du dv \\
&= \iint \dfrac{-v^2}{(v^2-t)(u^2 v^2+v^2)} du dv .
\end{align*} $$ Concernant les domaines de définition, j'ai trouvé que $u \in \mathbb{R}$ et $v \in [1;+\infty[$.
Donc $~\displaystyle \int_{[1;+\infty[} \int_{\mathbb{R}} \dfrac{-v^2}{(v^2-t)(u^2 v^2+v^2)} du dv = \int_{[1;+\infty[} -\dfrac{\pi}{v^2-t} dv$.
Sauf qu'à partir de là le calcul devient un peu difficile, donc je pense m'être trompée quelque part.
Pouvez-vous m'aider à y voir plus clair ?
Pour $t \geq 0$, on pose $\quad\displaystyle I(t) = \int_{[1,+\infty[\times\mathbb{R}} \dfrac{1}{x^2 y^2 + x^2 + t} dx dy$.
Calculer $I(t)$ à l'aide du changement de variables $x = \sqrt{v^2-t}$, $~y = \dfrac{uv}{\sqrt{v^2-t}}$.
J'ai un peu de mal, voici ce que j'ai fait ... Alors déjà la matrice jacobienne est :
$J = \begin{pmatrix} 0 & \dfrac{v}{\sqrt{v^2-t}} \\ \dfrac{v}{\sqrt{v^2-t}} & -\dfrac{tu}{\left(v^2-t\right)^\frac{3}{2}} \end{pmatrix},\ $ donc $\det(J) = -\dfrac{v^2}{v^2-t}$.
Donc $$\begin{align*}
I(t) &= \int_{[1,+\infty[\times\mathbb{R}} \dfrac{1}{x^2 y^2 + x^2 + t} dx dy \\
&= \iint \dfrac{1}{(\sqrt{v^2-t})^2(\frac{uv}{\sqrt{v^2-t}})^2 + (\sqrt{v^2-t})^2 +t} \times \dfrac{-v^2}{v^2-t} du dv \\
&= \iint \dfrac{-v^2}{(v^2-t)(u^2 v^2+v^2)} du dv .
\end{align*} $$ Concernant les domaines de définition, j'ai trouvé que $u \in \mathbb{R}$ et $v \in [1;+\infty[$.
Donc $~\displaystyle \int_{[1;+\infty[} \int_{\mathbb{R}} \dfrac{-v^2}{(v^2-t)(u^2 v^2+v^2)} du dv = \int_{[1;+\infty[} -\dfrac{\pi}{v^2-t} dv$.
Sauf qu'à partir de là le calcul devient un peu difficile, donc je pense m'être trompée quelque part.
Pouvez-vous m'aider à y voir plus clair ?
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Réponses
Le changement de variable dépend de \(t\).
Il est curieux que le domaine ne dépende toujours pas de \(t\) après le changement de variable.
Dans le changement de variable, tu as :
\begin{align} x^2 & = v^2-t & v^2 &= x^2+t & uv &= y\sqrt{v^2-t} = xy \end{align}
et tu as le choix du signe de \(v\), il est bien évidemment plus confortable de le prendre positif, donc:
\begin{align} v &= \sqrt{x^2+t} & u &= \frac{xy}{v} = \frac{xy}{\sqrt{x^2+t}} \end{align}
En fait, le domaine domaine d'intégration est défini par la seule condition : \(x \geqslant 1\). Après changement de variable, cette condition devient donc :
\[v=\sqrt{x^2+t} \geqslant \sqrt{1+t}\]
Autre précision : dans la formule du changement, ce n'est pas le déterminant jacobien qui intervient, mais sa valeur absolue, donc :
\begin{align} I(t) &=
\iint_{[1,+\infty[\times\mathbf{R}} \frac{1}{x^2 y^2 + x^2 + t} \,dxdy \\
&= \iint_{\mathbf{R}\times[\sqrt{t+1},+\infty[} \frac{1}{(v^2-t)(u^2+1)} \,dudv \\&
= \int_{\mathbf{R}} \frac{du}{u^2+1} \int_{[\sqrt{t+1},+\infty[} \frac{dv}{v^2-t}.
\end{align}
La première intégrale se calcule immédiatement, et la deuxième demande une petite décomposition en élément simples :
\[\frac{1}{v^2-t} = \frac{1}{2\sqrt t} \left( \frac{1}{v-\sqrt t} - \frac{1}{v+\sqrt t} \right).\]