valeur d'adhérence

Tu peux répéter les éléments de la suite de la manière suivante....
$$[u_{0}=2^{0}],[u_{1}=2^{0},u_{2}=2^{1}],[u_{3}=2^{0},u_{4}=2^{1},u_{5}=2^{2}],\ldots....$$
On énumère les éléments un peu à la façon dont on énumére les éléments de $\mathbb{Q}$ (de manière explicite).
Ensuite, c'est une formalité de montrer que cette suite a exactement pour valeurs d'adhérence l'ensemble que tu veux (car tous les valeurs d'adhérence potentielles sont isolées ici).

Sinon, plus exotique, on peut aussi se servir du fait que $\cos(n)$ est dense dans $[-1,1]$, avec un truc du genre :

$u_n = 2^{\big\lfloor \tfrac{1}{\cos^2(n)} \big\rfloor -1 }$