Uniforme convexité fonction puissance

jsvdb · January 2018

Bonsoir,
je cherche à démontrer l'uniforme convexité de la fonction $\mathbb C \rightarrow \mathbb R_+~;~ x \mapsto |x|^p,~ p > 1$

Autrement dit, $\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ |x| \leq 1~\text{et}~|y| \leq 1~\text{et}~|x-y|>2\varepsilon \Rightarrow \left|\dfrac{x+y}{2}\right|^p \leq (1-\delta)\dfrac{|x|^p+|y|^p}{2} $

Je vous remercie d'avance pour vos précieuses indications, car là, je tourne pas mal en rond ...

reuns · January 2018

Je suppose que tu veux montrer ça.

Tu peux diviser le RHS par le LHS, poser $t = \frac{x}{x+y}$ et regarder le minimum de $f(t) = t^p + (1-t)^p)$ sur $t \in [0,1]$, donné par $f'(t) = p t^{p-1}- p(1-t)^{p-1} =0$ donc $t = 1/2$.

jsvdb · January 2018

Bonjour reuns,
Merci pour ta réponse.
Effectivement je souhaite montrer l'uniforme convexité des espaces $L^p,~p \in ]1;\infty[$ aux fins d'établir leurs duals.
Et accessoirement les inégalités de Hanner qui étendent l'égalité du parallélogramme.

Ce qui me posait soucis, c'est que le $\delta$ que je trouvais était indépendant de $\varepsilon$ et comme mes calculs étaient trop longs, je me disais qu'il devait y avoir un souci.
Il semble selon ton conseil que j'aboutisse à la même chose, mais de façon nettement plus rapide.
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C'est bon, je vois où est mon souci.

Uniforme convexité fonction puissance

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