Convergence simple et fonctions analytiques
Bonjour,
Soit $f_n(x) = \sum_{k\geq 0} a_{n,k}x^k$ une (suite de) fonction analytique sur $\C$; on suppose que $f_n\to f$ simplement sur $\R$ (seulement sur $\R)$ où $f$ elle même est analytique (sur $\R$): mettons $f(x) = \sum_{k\geq 0} a_{k}x^k$.
Je souhaiterais montrer le plus élémentairement possible qu'il y a convergence coefficient par coefficient.
Si les coeff sont tous positifs, on peut dire que la suite double $a_{n,k}$ est bornée, donc qu'l existe par extraction diagonale une extraction $\varphi$ telle que $a_{\varphi(n),k}\to b_k$; mais ça ne répond pas à la question en totalité..
mais l'idéal serait de pouvoir exprimer les coeff d'une série entière $f$ comme "transformée" des valeurs de $f$ en les réels, puis convergence dominée par ex, mais je ne connais pas de telle relation...
Si on faisait l'hypothèse de la cnovergence simple sur $\C$, on s'en sortirait par les relations de Cauchy -- mais je voudrais appliquer ceci à la fonction caractéristique de va bornées par ex, pour montrer des cas particuliers de convergence en loi via la fonction caractéristique...
Soit $f_n(x) = \sum_{k\geq 0} a_{n,k}x^k$ une (suite de) fonction analytique sur $\C$; on suppose que $f_n\to f$ simplement sur $\R$ (seulement sur $\R)$ où $f$ elle même est analytique (sur $\R$): mettons $f(x) = \sum_{k\geq 0} a_{k}x^k$.
Je souhaiterais montrer le plus élémentairement possible qu'il y a convergence coefficient par coefficient.
Si les coeff sont tous positifs, on peut dire que la suite double $a_{n,k}$ est bornée, donc qu'l existe par extraction diagonale une extraction $\varphi$ telle que $a_{\varphi(n),k}\to b_k$; mais ça ne répond pas à la question en totalité..
mais l'idéal serait de pouvoir exprimer les coeff d'une série entière $f$ comme "transformée" des valeurs de $f$ en les réels, puis convergence dominée par ex, mais je ne connais pas de telle relation...
Si on faisait l'hypothèse de la cnovergence simple sur $\C$, on s'en sortirait par les relations de Cauchy -- mais je voudrais appliquer ceci à la fonction caractéristique de va bornées par ex, pour montrer des cas particuliers de convergence en loi via la fonction caractéristique...
Réponses
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L'existence de fonctions holomorphes universelles (pour l'opérateur de dérivation par exemple) t'empêche d'avoir la conclusion que tu demandes...
Cf le Théorème de Mac Lane dont il existe une preuve en quelques lignes via le théorème ergodique de Birkhoff. Il va falloir procéder autrement...
Oui, Bof... J'ai grave fumé Oo -
Ce résultat me semble faux ou alors me trompé-je? Voici mon contre-exemple: Soit $\varphi_n$, $n\geqslant 1$, la fonction continue sur $\mathbb{R}$ qui vaut $n$ sur $[-1/4n^2,1/4n^2]$, $0$ sur $[1/2n^2,+\infty[$ et $]-\infty,-1/2n^2]$ et est affine sur les intervalles $[-1/2n^2,-1/4n^2]$ et $[1/4n^2,1/2n^2]$. D'après Stone-Weierstrass, pour tout $n\geqslant 1$ il existe un polynôme $Q_n\in\mathbb{R}[X]$ tel que $\lvert Q_n(x)-\varphi_n(x)\rvert\leqslant \frac{1}{n^2}$ pour tout $x\in [-n,n]$. Alors la suite de fonctions polynomiales $(f_n(x)=xQ_n(x))_n$ tend simplement vers $0$ sur $\mathbb{R}$ et pourtant $Q_n(0)\to +\infty$.
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Quelle fonction $f$? Les fonctions $f_n$ sont polynomiales et leur limite simple est nulle.
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Bonsoir,
Merci Pea, ton contrexemple me semble fonctionner; ma "conjecture" est fausse -- les hypothèses sont trop générales.
Ma motivation était de démontrer dans un cas particulier la caractérisation de convergence en loi par les fct caractéristiques:
-On part de $(X_n)$ suite de variables aléatoires de sorte que la suite des fonctions caractéristiques converge simplement vers $\varphi_X$; supposons toutes les $X_n$ et $X$ bornées par un même réel (hyp très contraignante)
-supposons que les fct caract. des $X_n $ et de $X$ sont développables en séries entières: les coeff sont liés aux moments des variables aléatoires
- si le résultat conjecturé était vrai, on en déduirait que les $E(X_n^p) \to E(X^p)$ pour tout $p$, et donc que $E(P(X_n) \to E(P(X))$ pour tout polynôme $P$, et donc par densité des polynômes que $E(f(X_n))\to E(f(X))$ pour toute fonction continue, d'où la convergence en loi.
Même si le résultat prouvé était très faible par rapport au résultat optimal, je trouvais la démarche intéressante -- mais il y a peut être bcp plus simple..
Bon, je suis quasiment certain qu'en rajoutant la bonne hypothèse, le résultat de convergence coeff par coeff (la conjecture fausse faite ci dessus donc) est vrai.. Je vais y réfléchir..
Merci encore en tout cas!
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