Une différentielle.

Salut à tous !

J'aimerais différencier la relation : $<d_{x}(f)(h),d_{x}(f)(l)> = <h,l>$ par rapport à $x$.
Alors... Déjà le second membre ne dépendant pas de $x$ donc il deviendra nul.
Je sais différencier une application bilinéaire $D_{(x,y)}(F)(h,k) = F(x,k)+F(h,y)$
Faudrait que j'utiliser ça sauf qu'ici je dois différencier en un point.
Donc je vais essayer de trouver une composition : $F\circ v \circ w$ avec $w(x) = (d_{x}(f),d_{x}(f))$ et $v(A) = A(h,l)$
On y va... euh comme je connais la règle que pour 2 je pose $ u = v\circ w$ et cette fois :
$D_{x} (F\circ u) (k) = D_{u(x)} F (D_{x}u(k)) = D_{(d_{x}(f)(h),d_{x}(f)(l))}(F)(D_{w(x)}(v)(D_{x}(w)(k))) = D_{(d_{x}(f)(h),d_{x}(f)(l))}(F)D_{w(x)}(v)((d_{x}^2(f)(k),d_{x}^2(f)(k))) $
On continue :
$D_{(d_{x}(f)(h),d_{x}(f)(l))}(F)((d_{x}^2(f)(h,l),d_{x}^2(f)(h,l)) = <d_{x}(f)(h), d_{x}^2(f)(h,l)> + <d_{x}(f)(l),d_{x}^2(f)(h,l) >$

Je ne sais pas si c'est juste mais je pense qu'il me manque une case sur les dérivées d'ordres supérieurs.