Dualité $L^p$

jsvdb · January 2018

Bonjour.

Soit $(E,T,\mu)$ un espace mesuré, $q \in ]1;+\infty[, p = \frac{q}{q-1}$ l'exposant conjugué de $q$
Soit $f : E \rightarrow \mathbb R$ une application $\mu$-mesurable.
On suppose que $\forall g \in L^q(E,\mu),~fg \in L^1(E,\mu)$.
Montrer que $f \in L^p(E,\mu)$

J'ai considéré l'application $\varphi_f : L^q \rightarrow \mathbb R; \varphi_f (g) = \int_E fg $ qui est bien linéaire, mais à priori pas continue.
Plus précisément, elle est continue si et seulement si $f \in L^p(E,\mu)$, donc cela ne nous apprend rien.

Je pense donc qu'il faut construire à la main un exemple de fonction $g\in L^q$ telle que si $\int |f|^p = \infty$ alors $\int |fg| = \infty $. Et ici, je n'ai pas d'idée par où commencer.

Est-ce une bonne méthode ou avez-vous quelques autres suggestions ?

Merci par avances de vos réponses.

Poirot · January 2018

Si ta mesure est $\sigma$-finie, tu prends une suite $(f_n)_n$ dans $L^p$ qui approche $f$ en étant bornée (par exemple, tu écris $E = \bigcup_n E_n$ avec $E_n$ de mesure finie pour tout entier $n$, et tu prends $f_n = \mathbf 1_{E_n} \mathbf 1_{|f| \leq n} f$). Ensuite tu appliques le théorème de Banach-Steinhaus à la famille des $$g \mapsto \int_E f_n g \,d\mu.$$

jsvdb · January 2018

Merci beaucoup Poirot

BobbyJoe · January 2018

Pourquoi ne pas utiliser le graphe fermé à $\phi_{f}$ directement?
On a alors $$\forall g \in L^{q}(\mu),\mbox{ }\vert \phi_{f}(g) \vert \leq C\|g\|_{q}$$
Et alors, on choisit si la mesure $\mu$ est $\sigma$-finie :$ g=\chi_{A_{n}}\mbox{sg}(f)\vert f \vert^{p-1},$ pour avoir que $$\int_{A_{n}}\vert f \vert^{p}d\mu \leq C^{p}.$$
On conclut par Fatou que $f$ appartient alors $L^{p}(d\mu).$

Dualité $L^p$

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 15