Représentation conforme

J'ai rectifié c'était une erreur.

je m'excuse c'est une fonction qui n'admet pas de prolongement continu sur $\bar{U}$.

Comment ça n'importe quoi???

Montrons que $\phi: (\rho;\theta) \mapsto ( \rho; \theta+\frac{1}{1-\rho})$ est un homéomorphisme.
$\phi$ est continu car ses applications composantes le sont. Et en prenant $\psi: (\rho;\theta) \mapsto ( \rho; \theta-\frac{1}{1-\rho})$, on a $\phi \circ \psi = Id_U$ et $\psi \circ \phi=id_U$ donc $\phi$ est un homéomorphisme. Reste à montrer que ça n'admet pas de prolongement continu. Supposons qu'il existe ${\phi}_1$ un prolongement continu de $\phi$ sur $\bar{U}$. Soit $z=(1,\theta)$. On a la suite $ (1-\frac{1}{n+1},\theta)_n$ converge vers $z$ et $\displaystyle {\phi}_1(z)=\lim_{t\to +\infty} {\phi}_1 \Big(1-\frac{1}{n+1},\theta\Big)=\lim_{t\to +\infty}{\phi} \Big(1-\frac{1}{n+1},\theta\Big)=\lim_{t\to +\infty} \Big(1-\frac{1}{n+1},\theta+n+1\Big) \neq \phi_1(z)$ absurde. Donc $\phi$ ne possède pas de prolongement continu. Ai-je bien montré ???

Je pense que la fonction $e^{\tfrac{1}{1-z}}$ marche aussi . et son prolongement ne sera pas continu en 1.