Équivalent suite

Soit $0<\lambda<1$. On a par décroissante de la suite $$S_{n}-S_{\lambda n}=n^{b}(1-\lambda^{b})+o(n^{b}).$$
D'où l'on tire par décroissance de $u$ que $$u_{n}n(1-\lambda)\leq n^{b}(1-\lambda^b)+o(n^{b}) \mbox{ et } u_{\lambda n}(1-\lambda) n \geq n^{b}(1-\lambda^{b})+o(n^{b}).$$
En divisant par $n^{b},$ il vient que $$\frac{u_{n}}{n^{b-1}}\leq \frac{1-\lambda^{b}}{1-\lambda}+o(\frac{1}{1-\lambda}) \mbox{ et } \frac{u_{\lambda n}}{(\lambda n)^{b-1}}\geq \frac{1}{\lambda^{b-1}}\times \frac{1-\lambda^{b}}{1-\lambda}+o(\frac{1}{(1-\lambda)\lambda^{b-1}}).$$
En prenant les limites Sup et Inf, il vient $$ \limsup \frac{u_{n}}{n^{b-1}} \leq \frac{1-\lambda^{b}}{1-\lambda} \mbox{ et } \liminf \frac{u_{n}}{n^{b-1}} \geq \frac{1}{\lambda^{b-1}}\times \frac{1-\lambda^{b}}{1-\lambda}.$$
D'où en prenant la limite lorsque $\lambda$ tend vers $1$ $$u_{n}\sim bn^{b-1}.$$

Exactement... C'est l'analogue discret du fait que l'on peut dériver les équivalents de fonction concave (ici) ou convexe (sous certaines conditions minimes)

Pour $n>N$, tu peux écrire $S_{n}-S_{N}$ et écrire $\lambda=\frac{N}{n}$ si tu préfères....

en choisissant $N=\lfloor \lambda n \rfloor$ par exemple, non?

Bon ok plus proprement... Désolé pour la pseudo redite...

Soit $0<\lambda<1$. On a pour $n\gg 1,$ $$S_{n}-S_{\lfloor \lambda n \rfloor-1}=n^{b}-{(\lfloor \lambda n \rfloor-1)}^{b}+o(n^{b}).$$
D'où l'on tire par décroissance de $u$ que $$u_{n}(n-\lfloor \lambda n \rfloor+1) \leq n^{b}-{(\lfloor \lambda n \rfloor-1)}^{b}+o(n^{b}) \mbox{ et } u_{\lfloor \lambda n \rfloor }(n-\lfloor \lambda n \rfloor+1) \geq n^{b}-{(\lfloor \lambda n \rfloor-1)}^{b}+o(n^{b}).$$
En divisant par $n^{b},$ puis en prenant respectivement les limites sup et inf des expression précédentes, il vient $$ \limsup \frac{u_{n}}{n^{b-1}} \leq \frac{1-\lambda^{b}}{1-\lambda} \mbox{ et } \liminf \frac{u_{n}}{n^{b-1}} \geq \frac{1}{\lambda^{b-1}}\times \frac{1-\lambda^{b}}{1-\lambda}.$$
D'où en prenant la limite lorsque $\lambda$ tend vers $1$ $$u_{n}\sim bn^{b-1}.$$