application différentiable

Je vais tenter d'apporter une réponse en interprétant a question car ce n'est pas clair. Pour trouver la différentielle de la fonction $f$ en le point $a$, il faut écrire ce que vaut $f(a+h)$, faire apparaître $f(a)$ quelque part, puis identifier ce qui dépend linéairement de $h$ dans ce qu'il reste. Si la fonction est effectivement différentiable en $a$, il n'y a rien d'autre à faire pour trouver $df_a(h)$ (si tu es en dimension finie il n'y a pas de problème de continuité, sinon il faut évidemment vérifier la continuité de ce que tu trouves (quoi que...)).

Ton $\varepsilon(h)$ ne tend pas vers $h$ mais vers $0$ quand $h$ tend vers $0$, mais c'est même mieux que ça, ton dernier terme doit être de la forme $||h|| \phi(h)$ où $\phi(h)$ tend vers $0$ quand $h$ tend vers $0$. Et pourtant distinguer $df_a(h)$ parmi tout ça je l'ai déjà dit, c'est la partie de l'expression qui est linéaire en $h$.