Graphe d'une fonction et théorème de Fubini
dans Analyse
Bonjour
Je dois calculer à l'aide du Théorème de Fubini l'intégrale $\int 1_{[-N,N]^2 \cap Gr(f)} d \lambda^2$ où :
$ N \in \mathbb{N}$
$\lambda^2$ est la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}^2$
$Gr(f) = \{(x,f(x)) \mid x \in \mathbb{R}\} \subset \mathbb{R}^2$ est le graphe d'une application $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ mesurable.
Faut-il simplement réécrire $\int 1_{[-N,N]^2 \cap Gr(f)} d \lambda^2 = \int_{[-N,N]} d \lambda \int_{Gr(f)} d \lambda$ ? Merci d'avance. Je ne vois pas bien comment faire ce calcul.
Je dois calculer à l'aide du Théorème de Fubini l'intégrale $\int 1_{[-N,N]^2 \cap Gr(f)} d \lambda^2$ où :
$ N \in \mathbb{N}$
$\lambda^2$ est la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}^2$
$Gr(f) = \{(x,f(x)) \mid x \in \mathbb{R}\} \subset \mathbb{R}^2$ est le graphe d'une application $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ mesurable.
Faut-il simplement réécrire $\int 1_{[-N,N]^2 \cap Gr(f)} d \lambda^2 = \int_{[-N,N]} d \lambda \int_{Gr(f)} d \lambda$ ? Merci d'avance. Je ne vois pas bien comment faire ce calcul.
Réponses
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Tu peux trouver une explication détaillée ici... https://www.math.u-bordeaux.fr/~ngourmel/enseignement/N1MA5012_integration/ma-512-dm2-2014_corrige_v2.pdf
Il faut écrire les choses proprement (bien comprendre comment désintégrer la mesure par Fubini)... La réponse est que
le graphe d'une application mesurable est de mesure de Lebesgue nulle bien qu'il peut être de grosse "dimension" (dimension de Hausdorff $2$), surprenant non? -
Comme je bosse seule avec un simple livre (pas génial), j'ai parfois un peu de mal à assimiler certaines choses. Merci pour le lien !
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Bonjour!
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